Schnellstmöglich wenden

Das klingt nach einem Variationsproblem (Variationsrechnung).
Du musst deine Trajektorie bestimmen und dann ~~darauf regeln~~ diese entlang fahren, womit wir dann bei optimaler Steuerung wären. Ist aber wohl bissl oversized für dich, oder?

Bitte ein Bit

Hört sich für mich nach Bahnplanung/Interpolation/Approximation mit Nebenbedingungen an:

Im Grund hast du eine unbekannte Funktion f(x, y, z, roll, pitch, yaw) und willst diese zwischen den Punkten P1 und P2 unter Nebenbedingungen interpolieren. Das Ganze ergibt ein lineares Gleichungssystem aus denen du die Koeffizienten von f bestimmen kannst. Erst dann wird die resultierende Kurve f diskretisiert, also in deltaT Schritten abgetastet.

Nebenbedingungen wie die Position P1, P2, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen sind da kein Problem. Wie man da jetzt die Nebenbedingung "in möglichst kurzer Zeit" da hineinbaut, ist mir jetzt im moment auch unklar.

Bitte ein Bit schrieb:

Wie man da jetzt die Nebenbedingung "in möglichst kurzer Zeit" da hineinbaut, ist mir jetzt im moment auch unklar.

Genau das macht die Variationsrechnung für dich. Wäre ich nicht so Latex faul, würden ich nen kleines Beispiel mit Herleitung tippen

Wenn du zwei Punkte P1 und P2 hast, ist die Pfadlänge dazwischen S(y) = Int(Sqrt(1+y'(x)^2)) und bei konstanter Geschw. die Zeit zwischen den zwei Punkten S(y) = Int(Sqrt(1+y'(x)^2)/c2). Jetzt suchst du ein y(x), dass dieses Funktional minimiert, nach ein bisschen Variationsrechnung landest du bei der Euler-Lagrange-Gleichung: http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations#Euler.E2.80.93Lagrange_equation (letzter Kasten). Diese Lösen und du solltest für y(x), y(x) = m*x+b, also die Gerade rauskriegen.

Wenn du jetzt noch Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) hast, musst du da noch http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier hineinbringen danach ... blablabalbalaa ... Irgendwann landest du dann bei der optimalen Steuerung.

Im deutschen Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Optimale_Steuerung steht sogar:

Zum Beispiel könnte ein Autofahrer versuchen, ein Ziel in möglichst geringer Zeit zu erreichen. Wann schaltet der Autofahrer am besten? Möglicherweise müssen gewisse Nebenbedingungen, z. B. Geschwindigkeitsbegrenzungen, eingehalten werden. Ein anderer Autofahrer versucht dagegen vielleicht, den Benzinverbrauch zu minimieren, d. h., er wählt eine andere Zielfunktion.

SeppJ

@KasF: Du minimierst gerade die Pfadlänge, nicht die Zeit. Die Geschwindigkeit ist nicht konstant und die Wirkung braucht auch nicht stationär zu sein. Aber prinzipiell ist das der Ansatz, ja, bloß andere Gleichungen.

SeppJ schrieb:

Du minimierst gerade die Pfadlänge, nicht die Zeit.

S(y,y') = Int(Sqrt(1+y'(x)^2)/c2) , da hinten ist noch ein geteilt c^2.

SeppJ schrieb:

Die Geschwindigkeit ist nicht konstant

KasF schrieb:

bei konstanter Geschw.

-> habe ich mal der einfachheit halber so gewählt Normal taucht dort noch irgendwo ein weiteres y' auf.

SeppJ schrieb:

nd die Wirkung braucht auch nicht stationär zu sein

Wieso? Muss es doch, er will doch die Zeit minimieren.

SeppJ

KasF schrieb:

SeppJ schrieb:

Du minimierst gerade die Pfadlänge, nicht die Zeit.

S(y,y') = Int(Sqrt(1+y'(x)^2)/c2) , da hinten ist noch ein geteilt c^2.

Schon, aber mit konstanter Geschwindigkeit ist das trotzdem eine Minimierung des Weges. Der Witz an der Aufgabe ist doch gerade, dass die Geschwindigkeit nicht konstant ist.

SeppJ schrieb:

nd die Wirkung braucht auch nicht stationär zu sein

Wieso? Muss es doch, er will doch die Zeit minimieren.

Und? Minimierung der Zeit ist keine notwendige Bedingung für Konstanz der Wirkung.

(Nur damit das klar ist: Wenn man am Ende das Gesamtsystem aus der Punktmasse und den auf sie wirkenden Kräften betrachtet, dann ist die Wirkung auf der Bahn natürlich schon minimal. Aber wir wollen hier ja wissen, welche Kräfte aufgebracht werden müssen, damit die Bahn eine bestimmte Bedingung erfüllt. Das heißt, Minimierung der Wirkung gibt uns nur die Bahn zu einer Kraftfunktion, wir wollen aber die Kraftfunktion variieren, so dass die Bahn minimale Zeit benötigt.
)

SeppJ schrieb:

Schon, aber mit konstanter Geschwindigkeit ist das trotzdem eine Minimierung des Weges.

Schon klar, aber nur weil wir in R^2, hier kommt für beides eben die Gerade raus.

SeppJ schrieb:

Und? Minimierung der Zeit ist keine notwendige Bedingung für Konstanz der Wirkung.

Damit ich das richtig verstehe, wir reden schon beide vom Funktional/Wirkung S(y) = Int(L(y,y',t)). S(y) beschreibt mir jetzt , wie sich die Fahrtzeit, für y Ort und y' Geschwindigkeit verhält. Dann muss ich ein y so finden, sodass die Variation δS = 0, also stationär ist und meine Wirkung minimiert wurde und ich so dir kürzeste Fahrzeit gefunden habe. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action ) ... oder bringe ich etwas durcheinander. Lerne mich gerade auch erst in dieses Thema ein.

SeppJ schrieb:

Der Witz an der Aufgabe ist doch gerade, dass die Geschwindigkeit nicht konstant ist.

Ja, das war mir eben aber erstmals egal. Ich wollte es nur prinzipiell aufzeigen.

SeppJ

KasF schrieb:

Damit ich das richtig verstehe, wir reden schon beide vom Funktional/Wirkung S(y) = Int(L(y,y',t)). S(y) beschreibt mir jetzt , wie sich die Fahrtzeit, für y Ort und y' Geschwindigkeit verhält. Dann muss ich ein y so finden, sodass die Variation δS = 0, also stationär ist und meine Wirkung minimiert wurde und ich so dir kürzeste Fahrzeit gefunden habe. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action ) ... oder bringe ich etwas durcheinander. Lerne mich gerade auch erst in dieses Thema ein.

Wirkung ist nicht Fahrzeit. Wenn du die Wirkung minimierst, hast du die Wirkung minimiert, nicht die Fahrzeit.

SeppJ schrieb:

Wirkung ist nicht Fahrzeit. Wenn du die Wirkung minimierst, hast du die Wirkung minimiert, nicht die Fahrzeit.

Ich denk drüber nach