Stetigkeit und Differenzierbarkeit
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Ich schreib Montag ne Mathearbeit und hab hier zur Übung 2 Aufgaben:
Bestimmen sie den Wert des Parameters r so, dass die Funktion f stetig ist und untersuchen Sie, ob f dann differenzierbar ist.
\operatorname{f}(x)=\begin{cases}x^2+r\ für & x\le2\ \\ rx\ für & 2
und dasselbe nochmal mit 2 Parametern und noch ner Bedingung:
Bestimmen sie die Werte der Parameters s unt t so, dass die Funktion f stetig und differenzierbar ist.
\operatorname{f}(x)=\begin{cases}x^2+2s\ für & x<3\ \\ (s+t)x\ für & 3\le x\end{cases}
So. Ich hab erst ein bisschen rumprobiert, dann mal ein paar Werte für x eingesetzt und nach r aufgelöst, aber es ist immer eine Lücke im Graphen.
Und was Differenzierbarkeit ist, ist mir auch noch nicht wirklich klar (ich dachte differenzieren sei dasselbe wie ableiten?).
Naja und bei der zweiten Aufgabe kanns ja gar nicht klappen, wenn ich die erste nichtmal hinkrieg.Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich an sowas rangehen muss.
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Stetig: an der Uebergangsstelle beide Funktionswerte gleich.
Differenzierbar: an der Uebergangsstelle beide Ableitungen gleich.Das ist jetzt nicht ganz richt, normalerweise spielt da der Limes noch mit.
Aufgabe 1:
x^2 + r = rx (an der Stelle x=2)
also 4 + r = 2r => ausrechnenAufgabe 2:
stetig:
x^2 + 2s = (s+t)x (an der Stelle x=3)
9 + 2s = (s+t)3 => s in Abhaengigkeit von t ausrechnendifferenzierbar:
(x^2 +2s)' = ((s+t)x)' (an der Stelle x=3, ' bedeuted ableiten nach x)
also 2x = s+t (an der Stelle x=3)Nun hat man 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten => s und t ausrechenen.
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Super, danke.
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Und wenn man 3 Funktionszweige hat, dann muessen immer benachbarte an der Nahstelle betrachtet werden.