Lineare Abbildung Beweis

Es soll gezeigt werden, dass
$im(\varphi) \subset \ker(\varphi) \Leftrightarrow \varphi \circ \varphi \equiv 0$ gilt, wobei Phi ein Endomorphismus ist.

Mein Ansatz:

\Lefttarrow
Sei v im Bild von Phi, dann existiert ein u mit Phi(u)= v, wegen der Bedingung
Ist dann Phi(Phi(u)) = 0 und das Bild liegt somit im Kern.

$\Rightarrow$
Phi(v) ist im Kern für alle v in V damit ist nach Definition Kern
Phi(Phi(v)) = 0 .

Ich bin mir aber nicht sicher ob ich da nicht manchmal Voraussetzung und zu Zeigen vermische

Kann das jemand mal beurteilen?

Michael E.

Ist korrekt. Aber schreibs mal ganz penibel formal auf. Dann wirst du auch keine Probleme mehr mit dem Vertauschen von Voraussetzungen und Zielen haben.