Parameter eiener Kurve vom Typ a^4-b^2+c berechnen

[gleichungssystemproblem]

hallo, ich habe 5 gleichungen mit 5 unbekannten.

a(x_{1}-k_{1})^{4}-b(x_{1}-k_{2})^{2}+c=0\\ a(x_{5}-k_{1})^{4}-b(x_{5}-k_{2})^{2}+c=0\\ 4a(x_{2}-k_{1})^{3}-2b(x_{2}-k_{2})=0\\ 4a(x_{3}-k_{1})^{3}-2b(x_{3}-k_{2})=0\\ 4a(x_{4}-k_{1})^{3}-2b(x_{4}-k_{2})=0

x1, x2, x3, x4, x5 sind bekannt, ich suche die koeffizienten a,b,c und die konstanten k1, k2.
mein problem ist, wenn ich z.b. die erste gleichung ausmultipliziere erhalte ich
$ax_{1}^{4}-4ax_{1}^{3}k_{1}-6ax_{1}^{2}k_{1}^{2}-4ax_{1}k_{1}^{3}+ak_{1}^{4}-bx_{1}^{2}+2bx_{1}k_{2}-bk_{2}^{2}+c = 0$
und nun komme ich nicht weiter, weil dort mehrfach 2 unbekannte in den termen gemischt sind und dann auch noch eine potenz haben.
ist das überhaupt machbar?

[gleichungssystemproblem]

hmmm ... was ich gemacht habe ist wohl keine gute idee gewesen
ich habe in die formel
$a{x}^{4}-b{x}^{2}+c$
zwei konstanten eingebaut
$a{(x-k_{1})}^{4}-b{(x-k_{2})}^{2}+c$
aber damit habe ich wohl blödsinn fabriziert. damit habe ich wohl unbeabsichtigt eine funktion mit 2 variablen geschaffen.

[noproblem]

wenn ich z.b. 2(x-1,5)^4-3(x-1,8)2 - 2 in einen graphenplotter eingebe dann wird das gezeichnet.
die koeffizienten müssten sich also berechnen lassen!
frag mich aber nicht wie

[GER_Moki]

Substituier doch einfach mal alle $x\_n - k\_1$ bzw $x\_n - k\_2$ durch $z_n$. Damit sparst du dir ne Menge Schreibaufwand.

Und dann eliminierst du ganz gemütlich die erste Unbekannte, d.h. du löst zB die erste Gleichung nach $a$ auf und setzt den Term in allen anderen Gleichungen für $a$ ein. Dann bleiben dir noch 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Du suchst dir die nächste Gleichung, die sich schön auflösen lässt und wiederholst das Spielchen.

Am Ende hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten.

Achtung: Die Substitution vom Anfang ergibt für dich, dass $z\_1, z\_2, z_3$ auch Unbekannte sind, aus denen du dir $k\_1, k\_2$ berechnen kannst.

Ich hoffe, das hilft dir einigermaßen. Ist halt ein ziemlicher Rechenaufwand

[gprob]

aber dann erzeuge ich mir doch 10 weitere unbekannte, z1, ..., z10.
was ich vorhabe ist:
ich möchte 5 punkte im koordinatensystem vorgeben, die habe ich hier

http://s14.directupload.net/file/d/3122/inyujwyc_jpg.htm

rot markiert. da soll die kurve
$f(x) = a(x-k_{1})^{4}-b(x-k_{2})^{2}+c$
hindurchlaufen. dafür brauche ich ja die koeffizienten a, b und die konstante c, sowie die konstanten k1 und k2.
diese müssen sich irgendwie berechnen lassen können?

[gprob]

GER_Moki schrieb:

Ist halt ein ziemlicher Rechenaufwand

allerdings. nach mehreren vollgeschriebenen din a4 seiten habe ich aufgegeben.
gibts dafür nirgends fertige gleichungen?

[GER_Moki]

Du willst durch x Punkte eine Kurve der Form $f(x) = a\_n x^n + a\_{n-1} x^{n-1} + ... a\_1 x + a\_0$ legen?

Wenn du weißt, was für einen Grad das Polynom hat, dann schreib dir das mal hin:

zB für 4:

$f(x) = a\_4 x^4 + a\_3 x^3 + a\_2 x^2 + a\_1 x + a_0$

Dann setzt du jeden deiner 4 Punkte (es müssen immer mindestens so viele Punkte gegeben sein wie der Grad des Polynoms ist) ein.

zB: f(1) = 0

$f(1) = a\_4 * 1 + a\_3 * 1 + a\_2 * 1 + a\_1 * 1 + a_0 = 0$

und so weiter. Dann erhältst du ein lineares Gleichungssystem, dass du mit Gauss, Einsetzen oder sonstwie lösen kannst. Dann hättest du schonmal deine Funktion.

Wenn du dazu jetzt noch diese bestimmte Form brauchst (zB für eine Klausur), dann würde ich mir das einmal mit Buchstaben herleiten, wie ich von den Koeffizienten auf dein $a, b, c, k_1$ und $k_2$ komme und mir das dann in die Formelsammlung schreiben. Also:

$a_4 = a$
$a\_3 = -4k\_1$ ...

[gprob]

hey, das funktioniert verblüffend gut!
das ist das ergebnis,

http://s1.directupload.net/file/d/3122/vzailepd_jpg.htm

mit abgelesenen werten(kommt aufs pfund nicht drauf an):

x     y
5    0
10    -26       
22    -3        
29    -8        
33    0

da kann man nicht meckern über das ergebnis!
ich hatte es oben mit der ersten ableitung versucht, weil ich die wendepunkte erhalten wollte, aber das scheint sich irgendwie automatisch von selbst zu erledigen
im prinzip hatte ich das auch schonmal wie du probiert, bloß den fehler gemacht die ableitungen einzusetzten und es gab nie eine lösung fürs homogene gleichungssystem naja.
das ist übrigens nicht für eine klausur, das wird mal die flugbahn von einem flieger(computerspiel).
vielen dank für deine hilfe!

[knivil]

Dann setzt du jeden deiner 4 Punkte (es müssen immer mindestens so viele Punkte gegeben sein wie der Grad des Polynoms ist) ein.

Fuer eine Gerade (Grad 1) benoetige ich 2 Punkte.

[gprob]

neues problem: wie kann ich die wendepunkte vorgeben?
z.b. bekomme ich für diese punkte

x	y
0	0
10	-26	X
15	-10	X
20	-14	X
47	0

mit dem gauss verfahren koeffizienten berechnet, sodass die kurve die so aussieht:

http://s1.directupload.net/file/d/3123/jxtito3t_png.htm

ich möchte aber, dass die mit einem X gekennzeichneten punkte(wertetabelle oben) die wendepunkte sind.
wie kann ich es also erreichen, dass die kurve durch die vorgegebenen punkte verläuft und
an den stellen (10, -26), (15, -10), (20, -14) die wendepunkte liegen?
hier habe ich mal ein bild, wo die gewünschten wendepunkte rot
und der gewünschte kurvenverlauf grün(ein bisschen ruckelig, weil freihand aber das anliegen sollte klar sein)
gekennzeichnet sind.

http://s7.directupload.net/file/d/3123/s6ljrxfd_png.htm

oder ist so etwas gar nicht machbar?

[GER_Moki]

knivil schrieb:

Dann setzt du jeden deiner 4 Punkte (es müssen immer mindestens so viele Punkte gegeben sein wie der Grad des Polynoms ist) ein.

Fuer eine Gerade (Grad 1) benoetige ich 2 Punkte.

Huppsala... Da hat mich das Fondue total in seinen Bann gezogen, stimmt Mein Fehler!

Hmm... Wendepunkt heißt, dass die zweite Ableitung gleich Null sein muss. Also das Polynom zweimal ableiten, x-Wert des Punktes einsetzen und gleich Null.

[knivil]

Also was in der Spieleindustrie dafuer benutzt wird, sind Splines. Ist aber etwas mehr Mathematik als einfache Interpolation.

[gprob]

hab nochmal gegoogelt, das sind wohl doch keine wendepunkte die ich suche sondern die extrema.
also die punkte, wo ein x ist:

x	y
0	0
10	-26	X
15	-10	X
20	-14	X
47	0

da sollen die buckel sein
dafür habe ich die werte der ersten ableitung eingesetzt und per gauss keine lösung bekommen
kann das also sein, dass ich die extrema nicht beliebig vorgeben kann, dass es also nicht immer eine lösung gibt oder mache ich etwas anderes falsch?

[GER_Moki]

Du bekommst eine Lösung

Wenn du mehr Punkte vorgibst, dann brauchst du auch ein Polymon höherer Ordnung. Überleg dir, wie viele Informationen du hast (also Extrema, Wendepunkte, Punkte selbst) und so viele freie Parameter brauchst du.

Also, wenn du eine Funktion mit einem Extremum bei A(4/5) und einen Punkt B(0/0) haben willst, brauchst du ein Polynom 2. Grades:
- Extremum bei x = 4 => f'(4) = 0
- f(4) = 5
- f(0) = 0

Das kannst du dann mit $f(x) = ax^2 + bx + c$

[gprob]

GER_Moki schrieb:

Du bekommst eine Lösung

Wenn du mehr Punkte vorgibst, dann brauchst du auch ein Polymon höherer Ordnung. Überleg dir, wie viele Informationen du hast (also Extrema, Wendepunkte, Punkte selbst) und so viele freie Parameter brauchst du.

oops!
dann habe ich es also mit einem polynom mit zu niedriger ordnung versucht.
ich habe 5 punkte und 3 extrema, bräuchte also ein polynom 7ten grades!
verflixt, ich probiers aus aber vllt bekomme ich dann oszillationsprobleme. die
kurve soll ja im sichtbaren bereich bleiben und nicht über die achsen drüber schwingen.
ich werde mich dann wohl doch in die spline interpolation einlesen müssen.
auf jeden fall nochmal ein fettes danke

[Mups]

Wenn du zu viele Vorgaben machst und deswegen ein Polynom verwendest, fängt es an zu schwingen. Alternative: Splines http://de.wikipedia.org/wiki/Spline