Ableitungsoperator auf Polynomfunktionen stetig?

Hallo zusammen,

Wenn man die Ableitung als Operator auf Polynomfunktionen (auf offenen Intervallen) betrachtet, dann ist er linear. Ist er auch stetig (bezüglich der Supremumsnorm)? Die Frage hat sich mir beim Beweis des Differenzierbarkeitssatzes für Potenzreihen gestellt (d.h. die Ableitung der Grenzfunktion ist die Grenzfunktion der Ableitungen). Wäre der Operator nämlich noch stetig, würde das sofort folgen.

Meine Gedanken dazu: Ich denke ja, denn es reicht zu zeigen, dass der Operator stetig in 0 ist (wg. Linearität). Wenn ich dann eine gegen das Nullpolynom konvergente Folge von Polynomen betrachte, dann konvergieren doch auch (ohne formales Argument vorerst) die Ableitungen gegen die Nullfunktion. Oder liegt hier ein Denkfehler vor?

Viele Grüße

C14

Ne, ist nicht stetig,
schau dir z.B. nur x^n in (0,1) an.
Supremum ist 1, aber Supremum von
d/dx x^n = n * x^(n-1) ist n.
Also ist z.B.
f_n = 1/2^n * x⁽²n)
ne Folge mit f_n gegen 0 aber sup(d/dx f_n)=1

Hihi. Das war wohl das formale Argument. Hätte man auch selbst draufkommen können, vielen Dank.
Schade. Beweis futsch. Muss man doch rumrechnen.