Ungerade Funktionen & Fourierreihen

[freakC++]

Hallo zusammen,

eine Funktion heißt ungerade, wenn folgendes gilt: $f(-x) = -f(x)$

Ich habe nun folgende Funktion gegeben:

f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & für \quad - \pi \leq x \le 0 \\ 1 & für \quad 0 \leq x \le \pi \end{array} \right.

Für diese möcht ich eine Fourierreihe aufstellen. Da obige Definition nicht erfüllt ist, ist f sowohl nicht gerade als auch nicht ungerade. Doch die $a_{n}$ Koeffizienten sind 0, was wiederum für eine ungerade Funktion spricht.

Daher die kurze Frage: Die obige Funktion ist nicht ungerade und nicht gerade, oder?

LG, freakC++

[Maxi]

Die Funktion ist nach deiner obigen Definition nicht gerade oder ungerade.

Allerdings wird die Funktion ungerade, wenn du von jedem Funktionswert 1/2 abziehst:

$g(x):=f(x)-1/2$

Diese Funktion g(x) hat nun alle a_n=0, deine Funktion ist nicht mittelwertfrei und demzufolge auch a_0 != 0.

[freakC++]

Ja, a_0 ist 0,5. Doch ich frage mich halt, ob ich irgendwie bereits am Anfang sehen könne, dass a_n=0, n>0. Dass g ungerade ist, hilft mir ja nicht, oder? Ist ja immerhin eine andere Funktion.

lg, freakC++

[Maxi]

doch, das kann dir helfen, wenn du die Linearität der Fourierreihe betrachtest.

Wenn f aus g durch eine konstante Addition hervorgeht, dann haben f und g die selben Fourierkoeffizienten bis auf a_0, da die Elemente einer Fourierreihe einer Konstanten alle bis auf a_0 verschwinden.