Symmetrische Matrix diagonalisieren

Ich muss in einer Übungsaufgabe eine symmetrische Matrix A diagonalisieren und soll dafür eine Matrix C bestimmen so dass

$C^T A C = D$

wobei D die Diagonalmatrix ist.

Durch den Satz dass selbstadjungierte Endomorphismen orthogonal diagonalsierbar sind und dass solche symmetrische Matrizen haben, weiß ich dass das gehen muss.

Nun habe ich festgestellt, dass die Matrix
2 mal den Eigenwert 1 hat und dass wider Erwarten/oder eher Hoffen? die Eigenwerte zu diesem EW nicht orthogomal zueinander sind.

Nun habe ich ein wenig gegooglet, was man da machen kann. Das Ergebnis hat mich aber eher mehr verwirrt als mir geholfen.

Anscheinend muss man irgendwie unterscheiden zwischen der Diagonalisierung einer
lineaeren Abbildung und einer Bilinearform.
- Ich weiß leider nicht was das bedeuten soll (ich weiß was LA und BL sind, aber warum muss ich da bei der Diagonalisierung ander vorgehen?!)

Ohnehin habe ich einfach eine Matrix vorliegen, OHNE dass diese speziell einer BL oder LA zugeordnet wäre.

Es wäre ganz nett, wenn mir jemand erklärt, was es damit auf sich hat.

Nun das nächste:
Wie löse ich mein Problem?
Ich wäre nun folgendermaßen vorgegangen:
Ich habe 2 EW und 3 EV,
2 dieser EV gehören zu einem EW und sind nicht orthogonal.
ALso hätte ich nun einfach Gram-Schmidt auf die beiden losgelassen.
Da die beiden EV in einer Ebende liegen müsste EV3 immer noch senkrecht darauf stehen.

In einigen Foren habe ich jedoch gelesen, dass man von Anfang an Gram-Schmidt anwenden soll.
Nur wüsste ich nicht auf welche Vektoren? Ich habe eine Matrix, wie soll ich da Gram-Schmidt verwenden?

Wie man sieht, habe ich momentan nicht unbedingt den Durchblick und wäre froh, wenn jemand eine vlt etwas ausführlichere Erklärung oder Link zu gut zusammengefassten Quellen gibt.

Vielen Dank

C14

Eindeutige Eigenvektoren zu nem Eigenwert gibt es nicht, sondern nur den ensprechenden Eigenraum.
Die Eigenräume zu unterschiedlichen Eigenvektoren sind bei symmetrischen Matrizen orthogonal.
Welche Vektoren du aber als Basis von nem Eigenraum nimmst, bleibt dir überlassen.
Da du wohl ne Orthonormalbasis brauchst, mach Gram-Schmidt.
Danach noch die Eigenvektoren durch die Wurzel des Eigenwerts teilen, du willst ja die Diagonalmatrix und nicht die der Eigenwerte.
Diese Darstellung funktioniert deswegen auch nur für symmetrische Matrizen mit positiven Eigenwerten,
für allgemeine symmetrische Matrizen geht nur diese Form: http://de.wikipedia.org/wiki/Trägheitssatz_von_Sylvester