Warum ist das gleich

[freakC++]

Hallo zusammen,

ich sehe gerade irgendwie nicht, warum $u_{j}(1+h\lambda) = u_{0}(1+h\lambda)^{j+1}$ gilt. Dies ist wichtig bei der numerischen Lösung von DGLs. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke
lg, freakC++

[krümelkacker]

sieht so aus, als würde da zuviel vom kontext fehlen. was ist u0 und was ist uj?

[Jodocus]

Wie ist $u_j$ denn definiert? Irgendwie rekursiv?

[dot]

Sieht mir aus, als ob das einfach die aufgerollte Lösung irgendeiner Iteration wäre...

\begin{align} u\_j &= u\_{j-1}(1 - h\lambda) \\ u\_j &= u\_{j-2}(1 - h\lambda)(1 - h\lambda) \\ &\vdots \\ u\_j &= u\_0(1 - h\lambda)^j \end{align}

[freakC++]

Es geht um numerische Lösung von Anfangswertproblemen. Als einfachstes Beispiel kann das explizite Eulerverfahren betrachtet werden. Hier gilt:

$u_{0} := y(0)$
$u_{j+1} := u_{j} + h \cdot f(t_{j}, u_{j})$

Das Ziel ist nun das Aufstellen einer Verfahrensvorschrift. Beispielweise sei
$y'(t) = 2y(t) \cdot e^t$

Gilt dann folgendes?

$u_{j+1} = u_{j} + 2hu_{j} - he^{t_{j}} = u_{j}(1+2h) - he^{t_{j}} = u_{0} \cdot (1+2h)^{j+1} - he^{t_{j}}$

Vielen Dank
LG, freakC++

[freakC++]

Ich vermute, dass das letzte Gleichheitszeichen hier nicht mehr stimmt, weil danach noch etwas kommt.

[SeppJ]

Sei konsistent in deiner Schreibweise, du wechselst hin und her zwischen y und f.

freakC++ schrieb:

Ich vermute, dass das letzte Gleichheitszeichen hier nicht mehr stimmt, weil danach noch etwas kommt.

Richtig, das ist falsch . Kann man zum Beispiel sehen, indem man u_2 ausrechnet. Da bleiben noch ein paar exp(t_1) übrig.