Zusammenhang beweisen

hi, ich habe folgende Funktionen:

$f(x)$
$g(x) = \frac{f(x)}{x}$

Nun habe ich folgende Vermutung (für $x>0$ ):
$sign(\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}) = sign(\frac{\partial g(x)}{\partial x})$

Nur wie beweise ich das?

Mein Ansatz: $\frac{\partial g(x)}{\partial x} = \frac{\frac{\partial f(x)}{\partial x}}{x} - \frac{f(x)}{x^2}$
ich nenne $h(x) = \frac{\partial f(x)}{\partial x}$

damit ist
$\frac{\partial g(x)}{\partial x} = \frac{h(x)}{x} - \frac{g(x)}{x}$

Aber irgendwie sehe ich da noch nicht meine Vermutung bewiesen... mit Beispielen klappt's und ich weiß auch, dass es so sein muss. Es geht darum, ob der Mittelwert von zwei Werten (von $f$ ) größer oder kleiner als der Wert an der Stelle $\frac{wert\_2 - wert\_1}{2}$ . Ich muss also mit diesem Wissen darauf schließen, ob es eine konkave oder eine konvexe Funktion ist. Und meine formulierte Vermutung drückt dies ja implizit aus: Ist die zweite Ableitung negativ, dann muss der Mittelwert abnehmen, da es sich um eine konkave Funktion ist.

knivil

Versuche doch erstmal ein Gegenbeispiel zu finden, denn deine Vermutung ist falsch.

f(x) = x^3 - 8x^2
g(x) = x^2 - 8x

f''(x) = 6x - 16
g'(x) = 2x - 8

bei x = 3 geht es schief mit dem Vorzeichen.

mit Beispielen klappt's

Na, vielleicht habe ich ja einen Fehler in meinem Beispiel.

ich weiß auch, dass es so sein muss

Hmm ... woher?

Wenn man mal eine Ableitung wegglaesst, dann sagst du ja, dass die Ableitng immer das gleiche Vorzeichen hat, wie wenn man einfach durch x teilt. Aber Anstieg und Kruemmung koennen durchaus unterschiedlich sein ...

größer oder kleiner als der Wert an der Stelle $\frac{wert\_2 - wert\_1}{2}$ .

Manchmal so, manchmal so ... was hat der Funktionswert an einer Stelle mit irgendwelchen Funktionswerten anderswo zu tun. Die Idee sieht schon falsch aus.

Mittelwert

Ich sehe keine Mittelwerte. Da fehlen wohl ein paar Integrale.

da es sich um eine konkave Funktion ist

Du hast keine Bedingungen an f geknuepft, d.h. sie kann an manchen Stellen konkav oder konvex sein. Was immer dein Ausgangsproblem ist, so wird es nichts.

SAU PEINLICH eine Folie weiter wird genau dieses Problem dargestellt....
d.h. ich muss eine weitere Bedingung an f'' knüpfen, nämlich f'' < 0 bzw. f'' ≥ 0 für alle x.
Deswegen hast du mit deiner Kritik natürlich vollkommen Recht. Ich war schon so in meinen Gedanken, dass ich diesen Twist vergessen hatte...

f(x) soll "Farmverhalten" eines Bauers darstellen. f ist eine Funktion seiner Arbeitskraft, während x die Feldgröße oder sowas in der Richtung darstellen soll.
g(x) ist dann doch sein Durchschnittsertrag, oder? Da brauche ich doch kein Integral?!

(jetzt sieht man auch, warum ich wissen muss, ob das eine konkave oder konvexe Funktion ist: angenommen es gibt zwei Bauern (gleiches Farmverhalten), einer hat ein Feld der Größe x₀, der andere eins der Größe x₁ wobei x₁>x₀. Ob es nun gut oder schlecht ist für den Gesamtertrag, wenn ich beide Feldgrößen anpasse (also einem Bauern was wegnehmen und dafür dem anderen geben) hängt von der Krümmung der Kurve ab.)

Also natürlich
ENTWEDER

f'' < 0 für alle x.

ODER

f'' ≥ 0 für alle x.