4. Vektoren vs. Spaltenvektoren (Matrixschreibweise)

Vektoren vs. Spaltenvektoren (Matrixschreibweise)

  • B

    ScottZhang schrieb:

    Ich glaube er meint nicht die Basisvektoren einer Basis sondern wirklich die Anzahl der Basen.

    Ja klar, hat er doch geschrieben. Aber ein endlicher Vektorraum (endlicher Körper, endlich-dimensional) hat nunmal logischerweise nur endlich viele Basen.

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  • S

    Du meinst einen Vektorraum über einen endlichen Körper dann hauts hin :). DerR^n ist auch endlich!

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  • B

    DerR^n ist auch endlich!

    Seh ich nicht so. Aber vielleicht ist die Terminologie bei euch Physikern anders.

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  • ?

    Okay, das sehe ich ein, ja. Auch ohne Basis oder sonstiges kann ich mit Spaltenvektoren rechnen und bleibt bei den definierten Operationen im selben Vektorraum, also hat das schon Hand und Fuß, ja.
    Ich glaube meine Verwirrung rührt im Moment von der Anwendung der Vektorrechnung auf den euklidischen Raum, bei dem man (oder ich zumindest im Moment) halt in Basen denken muss, um die repräsentierten Größen (Geschwindigkeiten, Positionen, sowas) vernünftig miteinander in Beziehung setzen zu können. Und hier unterscheiden sich dann gewöhnliche Vektoren und deren Matrixschreibweise dann gewaltig und ich friemele mir gerade eine vernünftige Schreibweise dafür heraus, sodass ich Spaltenvektoren, die als Abkürzung für Komponentschreibweise herhalten sollen (also wo ich mir explizit x1, x2, x3... denke und eine Basis brauche) von Vektoren unterscheiden kann, zu deren Repräsentation ich keine Aussage treffen will.
    Ich schreibe gleich mal vernünftig auf, wie ich überhaupt auf die Frage komme, aber dazu muss ich mich erstmal in die Mathe-ML dieses Boards friemeln.

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  • ?

    Aber dass ich das jetzt nicht falsch verstehe: Der R^3 hat schon unendlich viele Basen, es gibt bloß Vektorräume die in einer Form diskret sind, sodass sie eben nicht unendlich viele Elemente und damit unendlich viele Basen besitzen?

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  • ?

    Ein Vektorraum V über K hat genau dann endlich viele Basen, wenn dim_K(V) = 0 oder (K endlich und dim_K(V) endlich) ist.

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  • ?

    blubb schrieb:

    Ein Vektorraum V über K hat genau dann endlich viele Basen, wenn dim_K(V) = 0 oder (K endlich und dim_K(V) endlich) ist.

    *nur* endlich viele Basen

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  • S

    Bashar schrieb:

    DerR^n ist auch endlich!

    Seh ich nicht so. Aber vielleicht ist die Terminologie bei euch Physikern anders.

    Mit Physikern hab ich nur wenig zu tun. Es geht hier nicht um die Mächtigkeit der Menge. Schau dir nochmal die Definition an, die Dimension ist die Anzahl der Elmente in einem maximalen System linear unabhängiger Vektoren.

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  • O

    Ich hab das Gefühl, hier werden gerade Munter Begrifflichkeiten vertauscht.

    In diesem Thread kam vor mit endlich:

    endlich dimensionaler Vektorraum
    endliche Basis
    (un)endlicher Vektorraum (!= endlich dimensional!)
    (un)endlich viele Basen (!= endliche Basis)

    Also: in einem endlich dimensionalen Vektorraum hat jede Basis eine endliche Anzahl von vektoren. Und ist der Vektorraum nicht endlich, dann gibt es unendlich viele Basen.

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  • B

    ScottZhang schrieb:

    Mit Physikern hab ich nur wenig zu tun.

    Ich hatte immer vermutet, du seist Physiker.

    Es geht hier nicht um die Mächtigkeit der Menge.

    Doch, worum sonst? Wenn du die Dimension meinst, sagst du endlich-dimensional.

    Schau dir nochmal die Definition an, die Dimension ist die Anzahl der Elmente in einem maximalen System linear unabhängiger Vektoren.

    Das überlese ich mal, schlecht für den Blutdruck.

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  • S

    Stimmt das sollte man erstmal klarstellen, sonst gibs Schwierigkeiten :).
    Ein Vektorraum heißt (un-)endlich wenn er eine (un-)endliche Basis besitz. So habe ich das zumindest gesehen.
    Ich werde besser das Wort "dimension" anfügen wenn ich diese auch meine.

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  • B

    Ich seh das nicht so eng, manche, die nichts mit Vektorräumen mit endlich vielen Elementen zu tun haben, sagen vielleicht "endlich" statt "endlich-dimensional". Kurzes googeln zeigt jedenfalls, dass das teilweise durchaus gebräuchlich zu sein scheint, zumindest im deutschen Sprachraum. Auf Englisch sieht das ein bisschen anders aus.

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  • ?

    Also ich möchte mich hier mal auf den einfachen Spezialfall der 3D-Kinematik beziehen.
    Sagen wir, wir zerteilen den Vektor x⃗\vec{x} in zwei Teilvektoren x⃗0\vec{x}_0 und s⃗\vec{s}:
    x⃗=x⃗0+s⃗\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{s}.
    Nun stellen wir s⃗\vec{s} als Linearkombination dreier Vektoren dar:
    s⃗=s_1e⃗_b1+s_2e⃗_b2+s_3e⃗_b3\vec{s} = s\_1\vec{e}\_{b1} + s\_2\vec{e}\_{b2} + s\_3\vec{e}\_{b3}.
    Die Vektoren e⃗bx\vec{e}_{bx} bilden ein orthonormales Rechtssystem, das mit einer gewissen Geschwindigkeit um einen Gewissen Vektor rotieren soll. Da sich bei der Rotation der Betrag der Vektoren nicht verändert, gibt es ein w⃗\vec{w} sodass gilt:
    e⃗˙bx=w⃗×e⃗bx\dot{\vec{e}}_{bx} = \vec{w} \times \vec{e}_{bx}.
    Daraus folgt für die zeitliche Ableitung von x⃗\vec{x}:
    x⃗˙=x⃗˙_0+s⃗˙=x⃗˙_0+s⃗˙\dot{\vec{x}} = \dot{\vec{x}}\_0 + \dot{\vec{s}} = \dot{\vec{x}}\_0 + \dot{\vec{s}}
    mit
    s⃗˙=s˙_1e⃗_b1+s˙_2e⃗_b2+s˙_3e⃗_b3+w⃗×(s_1e⃗_b1+s_2e⃗_b2+s_3e⃗_b3)\dot{\vec{s}} = \dot{s}\_1\vec{e}\_{b1}+\dot{s}\_2\vec{e}\_{b2}+\dot{s}\_3\vec{e}\_{b3} + \vec{w} \times (s\_1\vec{e}\_{b1} + s\_2\vec{e}\_{b2} + s\_3\vec{e}\_{b3})
    Und spätestens hier möchte man ja nun für die Kürze die Spaltenvektordarstellungsweise aus der Schule anwenden, wie sie schon erwähnt wurde:
    s⃗=(s_1s_2s3)\vec{s}=\left(\begin{array}{c}s\_1\\s\_2\\s_3\end{array}\right).
    Aber damals hat man sich ja keinen keinen Kopf über unterschiedliche Bezugssysteme oder ähnliches gemacht, diese Spaltenschreibweise WAR der Vektor. Ich würde im aktuellen Kontext anschreiben wollen:
    s⃗=bs⃗=b(s_1s_2s3)\vec{s} = {}^b\vec{s} = {}^b\left(\begin{array}{c}s\_1\\s\_2\\s_3\end{array}\right), weil ich diesen Spaltenvektor explizit als abkürzende Schreibweise verwende, für den die Wahl der Vektoren e⃗bx\vec{e}_{bx} ja nun entscheidend ist. Das führt dann zu der lustigen Schreibweise:
    s⃗˙=bs⃗˙+w⃗×bs⃗\dot{\vec{s}}={}^b\dot{\vec{s}}+\vec{w} \times {}^b\vec{s}.
    So, und s⃗\vec{s} ist jetzt ja grundlegend verschieden von bs⃗{}^b\vec{s}, das erste bezeichnet direkt den Vektor, das zweitere bezeichnet die Koeffezienten in Matrixschreibweise, welche den Vektor s⃗\vec{s} durch die Linearkombination von einem Satz anderer Vektoren darstellt. Oder anders: In der Schule war die Koeffizientenschreibweise der Vektor und zwischen denen kann man auch wunderbar rechnen, aber hier muss ich jetzt ja zwischen den Bedeutungen unterscheiden, oder nicht?

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  • ?

    Zur Verdeutlichung:
    Dort gilt dann zwar laut Definition, dass s⃗=bs⃗\vec{s} = {}^b\vec{s}, aber s⃗˙≠bs⃗˙\dot{\vec{s}} \ne {}^b\dot{\vec{s}}.

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  • O

    Du machst dir einen zu großen Kopf um die Basis. Eine der Kernaussagn der linearen Algebra ist, das die Wahl der Basis in einem Bezugssystem egal ist. Erst wenn du mit mehreren Bezugssystemen arbeitest, solltest - nein musst du - dir gedanken machen.

    Knackiger ausgedrückt: in den meisten Anwendungen kennst du die Basis deiner Daten nicht einmal.

    //edit dein letzter post macht keinen Sinn. Die Wahl der Basis ist egal und verändert nur die Darstellung des Vektors, aber nicht seinen Wert. wenn also das erste gilt, gilt auch das Zweite.

    //edit 2 n dein Formeln machen gerade alle nicht so viel Sinn 😞 schau dir das alles nochmal genau an.

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  • ?

    Hallo,
    dieser Widerspruch, den Du ansprichst, kommt zustande, wenn man davon ausgeht, dass bs⃗{}^b\vec{s} ein gewöhnlicher Vektor wäre. Nun habe ich hier aber mit unterschiedlichen Basen zu tun, nämlich einer frei zu wählenden "äußeren" Basis und der eingebetteten Basis b. Ich versuche nun in mathematischen Ausdrücken die Koeffizienten zur Darstellung eines Vektors über eine Basis von der Basis zu trennen, sodass ich die Koeffizienten als Matrix von "rellen Zahlen" behandeln kann, die auf eine Basis angewandt werden. Es soll damit gelten:
    s⃗˙=b˙s⃗+bs⃗˙\dot{\vec{s}} = {}^{\dot{b}}\vec{s} + {}^b\dot{\vec{s}}, denn ansonsten könnte ich den Ausdruck s˙_1e⃗_b1+s˙_2e⃗_b2+s˙_3e⃗_b3\dot{s}\_1\vec{e}\_{b1}+\dot{s}\_2\vec{e}\_{b2}+\dot{s}\_3\vec{e}\_{b3} gar nicht auf kurze und exakte Weise darstellen. Ich versuche also irgendwie eine kurze Schreibweise zu finden, die es mir erlaubt, schriftlich mit unterschiedlichen Basen zu hantieren, ohne diese Gedanken "außerhalb" des geschriebenen mitführen zu müssen und vor allem möchte ich dabei keine gedanklichen Fehler begehen. Ich hoffe ich konnte immerhin die zwei verschiedenen Dinge herausarbeiten, die ich in meiner ersten Nachricht noch Vektor (=s⃗\vec{s}) und Spaltenvektor (=bs⃗{}^b\vec{s}) nannte, in Ermangelung einer treffenden Bezeichnung für letzteres.
    Oder nochmal anders: Ich möchte die Basen aus den so erzeugten mathematischen Ausdrücken, sofern sie korrekt sind, einfach rausstreichen können und für die "Spaltenvektoren" die entsprechenden Zahlen in ihren Bezugssystemen einsetzen können und das was ich berechne ist richtig (tm).

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    Kannst Du mir bitte den/die genauen Fehler nennen? Mir kam das eigentlich alles intuitiv richtig vor 😉

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  • O

    Du wolltest wirklich in der ersten Formel

    s⃗˙=2⋅bs⃗˙\dot{\vec{s}} = 2 \cdot {}^b\dot{\vec{s}}

    schreiben? Überleg nochmal.

    Warum sollte deiner Meinung nach nicht

    s⃗˙=s˙_1e⃗_b1+s˙_2e⃗_b2+s˙_3e⃗_b3\dot{\vec{s}} = \dot{s}\_1\vec{e}\_{b1}+\dot{s}\_2\vec{e}\_{b2}+\dot{s}\_3\vec{e}\_{b3}

    gelten?

    Oder nochmal anders: Ich möchte die Basen aus den so erzeugten mathematischen Ausdrücken, sofern sie korrekt sind, einfach rausstreichen können und für die "Spaltenvektoren" die entsprechenden Zahlen in ihren Bezugssystemen einsetzen können und das was ich berechne ist richtig (tm).

    Das geht nicht. Du kannst nicht mit vektoren aus unterschiedlichen Basen gleichzeitig rechnen. Du musst vorher einen Basiswechsel in eine gemeinsame Basis durchführen.

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    otze schrieb:

    Du wolltest wirklich in der ersten Formel

    s⃗˙=2⋅bs⃗˙\dot{\vec{s}} = 2 \cdot {}^b\dot{\vec{s}}

    schreiben? Überleg nochmal.

    Welche erste Formel meinst Du genau? Die Gleichung habe ich meiner Meinung nach so nirgens hingeschrieben und sie ist natürlich auch in meinem Sinne falsch:

    s⃗˙=b˙s⃗+bs⃗˙=s_1e⃗˙_b1+s_2e⃗˙_b2+s_3e⃗˙_b3+s˙_1e⃗_b1+s˙_2e⃗_b2+s˙_3e⃗_b3\dot{\vec{s}} = {}^{\dot{b}}\vec{s} + {}^b\dot{\vec{s}} = s\_1\dot{\vec{e}}\_{b1} + s\_2\dot{\vec{e}}\_{b2} + s\_3\dot{\vec{e}}\_{b3} + \dot{s}\_1\vec{e}\_{b1} + \dot{s}\_2\vec{e}\_{b2} + \dot{s}\_3\vec{e}\_{b3}

    otze schrieb:

    Warum sollte deiner Meinung nach nicht

    s⃗˙=s˙_1e⃗_b1+s˙_2e⃗_b2+s˙_3e⃗_b3\dot{\vec{s}} = \dot{s}\_1\vec{e}\_{b1}+\dot{s}\_2\vec{e}\_{b2}+\dot{s}\_3\vec{e}\_{b3}

    gelten?

    Das gilt deshalb nicht, da laut Voraussetzung

    e⃗˙bx≠0⃗\dot{\vec{e}}_{bx} \ne \vec{0}

    .

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  • O

    oh. ekelhafte Notation, ich sehe ja jetzt erst, das du da ein Punkt auf dem b hast (echt schlechte notation).

    Aber es gilt das was ich bereits vorher gesagt hatte: du kannst keine 2 Vektoren aus unterschiedlichen Bezugssystemenen miteinander verrechnen. Du musst immer in dein ursprüngliches Koordinatensystem zurückrechnen, bevor du irgendwas machen kannst.

    Und am Ende sollte natürlich gelten, das das Ergebnis unahängig von der berchneten Basis ist.

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