Vektoren vs. Spaltenvektoren (Matrixschreibweise)

Zur Verdeutlichung:
Dort gilt dann zwar laut Definition, dass $\vec{s} = {}^b\vec{s}$ , aber $\dot{\vec{s}} \ne {}^b\dot{\vec{s}}$ .

otze

Du machst dir einen zu großen Kopf um die Basis. Eine der Kernaussagn der linearen Algebra ist, das die Wahl der Basis in einem Bezugssystem egal ist. Erst wenn du mit mehreren Bezugssystemen arbeitest, solltest - nein musst du - dir gedanken machen.

Knackiger ausgedrückt: in den meisten Anwendungen kennst du die Basis deiner Daten nicht einmal.

//edit dein letzter post macht keinen Sinn. Die Wahl der Basis ist egal und verändert nur die Darstellung des Vektors, aber nicht seinen Wert. wenn also das erste gilt, gilt auch das Zweite.

//edit 2 n dein Formeln machen gerade alle nicht so viel Sinn schau dir das alles nochmal genau an.

Hallo,
dieser Widerspruch, den Du ansprichst, kommt zustande, wenn man davon ausgeht, dass ${}^b\vec{s}$ ein gewöhnlicher Vektor wäre. Nun habe ich hier aber mit unterschiedlichen Basen zu tun, nämlich einer frei zu wählenden "äußeren" Basis und der eingebetteten Basis b. Ich versuche nun in mathematischen Ausdrücken die Koeffizienten zur Darstellung eines Vektors über eine Basis von der Basis zu trennen, sodass ich die Koeffizienten als Matrix von "rellen Zahlen" behandeln kann, die auf eine Basis angewandt werden. Es soll damit gelten:
$\dot{\vec{s}} = {}^{\dot{b}}\vec{s} + {}^b\dot{\vec{s}}$ , denn ansonsten könnte ich den Ausdruck $\dot{s}\_1\vec{e}\_{b1}+\dot{s}\_2\vec{e}\_{b2}+\dot{s}\_3\vec{e}\_{b3}$ gar nicht auf kurze und exakte Weise darstellen. Ich versuche also irgendwie eine kurze Schreibweise zu finden, die es mir erlaubt, schriftlich mit unterschiedlichen Basen zu hantieren, ohne diese Gedanken "außerhalb" des geschriebenen mitführen zu müssen und vor allem möchte ich dabei keine gedanklichen Fehler begehen. Ich hoffe ich konnte immerhin die zwei verschiedenen Dinge herausarbeiten, die ich in meiner ersten Nachricht noch Vektor (= $\vec{s}$ ) und Spaltenvektor (= ${}^b\vec{s}$ ) nannte, in Ermangelung einer treffenden Bezeichnung für letzteres.
Oder nochmal anders: Ich möchte die Basen aus den so erzeugten mathematischen Ausdrücken, sofern sie korrekt sind, einfach rausstreichen können und für die "Spaltenvektoren" die entsprechenden Zahlen in ihren Bezugssystemen einsetzen können und das was ich berechne ist richtig (tm).

Kannst Du mir bitte den/die genauen Fehler nennen? Mir kam das eigentlich alles intuitiv richtig vor

otze

Du wolltest wirklich in der ersten Formel

$\dot{\vec{s}} = 2 \cdot {}^b\dot{\vec{s}}$

schreiben? Überleg nochmal.

Warum sollte deiner Meinung nach nicht

$\dot{\vec{s}} = \dot{s}\_1\vec{e}\_{b1}+\dot{s}\_2\vec{e}\_{b2}+\dot{s}\_3\vec{e}\_{b3}$

gelten?

Oder nochmal anders: Ich möchte die Basen aus den so erzeugten mathematischen Ausdrücken, sofern sie korrekt sind, einfach rausstreichen können und für die "Spaltenvektoren" die entsprechenden Zahlen in ihren Bezugssystemen einsetzen können und das was ich berechne ist richtig (tm).

Das geht nicht. Du kannst nicht mit vektoren aus unterschiedlichen Basen gleichzeitig rechnen. Du musst vorher einen Basiswechsel in eine gemeinsame Basis durchführen.

otze schrieb:

Du wolltest wirklich in der ersten Formel

$\dot{\vec{s}} = 2 \cdot {}^b\dot{\vec{s}}$

schreiben? Überleg nochmal.

Welche erste Formel meinst Du genau? Die Gleichung habe ich meiner Meinung nach so nirgens hingeschrieben und sie ist natürlich auch in meinem Sinne falsch:

$\dot{\vec{s}} = {}^{\dot{b}}\vec{s} + {}^b\dot{\vec{s}} = s\_1\dot{\vec{e}}\_{b1} + s\_2\dot{\vec{e}}\_{b2} + s\_3\dot{\vec{e}}\_{b3} + \dot{s}\_1\vec{e}\_{b1} + \dot{s}\_2\vec{e}\_{b2} + \dot{s}\_3\vec{e}\_{b3}$

otze schrieb:

Warum sollte deiner Meinung nach nicht

$\dot{\vec{s}} = \dot{s}\_1\vec{e}\_{b1}+\dot{s}\_2\vec{e}\_{b2}+\dot{s}\_3\vec{e}\_{b3}$

gelten?

Das gilt deshalb nicht, da laut Voraussetzung

$\dot{\vec{e}}_{bx} \ne \vec{0}$

.

otze

oh. ekelhafte Notation, ich sehe ja jetzt erst, das du da ein Punkt auf dem b hast (echt schlechte notation).

Aber es gilt das was ich bereits vorher gesagt hatte: du kannst keine 2 Vektoren aus unterschiedlichen Bezugssystemenen miteinander verrechnen. Du musst immer in dein ursprüngliches Koordinatensystem zurückrechnen, bevor du irgendwas machen kannst.

Und am Ende sollte natürlich gelten, das das Ergebnis unahängig von der berchneten Basis ist.

Irgendwas schlechtes muss man ja finden
Ich find die Notation sehr schön, weil sie Konsistenz fördert und Bezugssystem-Semantik mit in die mathematische Ausformulierung bringt. Zudem ist es in denn allermeisten Fällen so, dass die Basen der Bezugssysteme nur rotiert werden, in welchem Fall diese Komponente eben in das Kreuzprodukt mit dem Ursprünglichen Vektor und einem Winkelgeschwindigkeitsvektor übergeht und somit gar nicht in dieser Form ausgeschrieben werden braucht. Handschriftlich würde ich den Punkt natürlich prominenter machen, als es Latex hier vermag.
Und so kann man dann auch Vektoren zu unterschiedlichen Basen im selben mathematischen Ausdruck verwenden, wenn man eben die nötigen Transformationen mit hinzufügt. Dann kann man aus der Gleichung ablesen, zu welchem Bezugssystem man Koordinaten bei welchen Vektoren "eintragen" muss, um vernünftige Ergebnisse zu erhalten, anstatt das irgendwie im Kleingedruckten unter die Formel zu schreiben.

Wobei sich jetzt natürlich immernoch die Frage stellt, ob es für einen solchen auf ein Bezugssystem bezogenen Vektor einen Namen gibt? Wenn man jetzt einen Spaltenvektor mit den einzelnen Komponenten hernimmt, würde ich das folgend der Trägheitstensoren als Koordinatentensor eines Punktes/einer Richtung bezeichnen und mit der Annotation des Bezugssystems als Koordinatenvektor (weil Bezugssystem + Trägheitstensor ermöglicht, den TT in jedes beliebige andere Bezugssystem umzurechnen, und man mit Bezugssystem + "Koordinatentensor" eben genauso in jedes andere Bezugssystem umrechnen kann). Ich hab halt keinen Plan von Tensoren und ob die nicht noch viel mehr Eigenschaften haben, die sich hier in diesem Sinne nicht übertragen.

Bashar

Koordinatenvektor oder -tupel vielleicht? Da würde mir der Zusatz "bezüglich der Basis soundso" nicht weiter aufstoßen.