4. Totale Differenzierbarkeit

Totale Differenzierbarkeit

  • ?

    Ich schreibe demnächst Analysis-Klausur und ich habe immer noch Probleme mit der totalen Differenzierbarkeit.

    Wie kann ich zeigen, ob eine Funktion total Differenzierbar ist?

    Soweit ich weiß, reichen weder Stetigkeit noch Existenz der partiellen Ableitungen aus, um über die t.Diffbarkeit etwas aussagen zu können.

    Ich nehme hier mal ein Beispiel aus der VL:

    f(x,y)=∣x⋅y∣f(x,y) = \displaystyle\sqrt{|x\cdot y|}

    Die partiellen Ableitungen in x- bzw y-Richtung existieren und die Funktion ist in (0.0) auch stetig.

    Dennoch ist die Funktion nicht t.diffbar.

    Wie kann ich so etwas zeigen?

    Ich glaube nicht, dass ich auf gut Glück die Richtungsableitung in irgendeine andere Richtung betrachten soll, oder?

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  • H

    Hi

    Meine Analysis Vorlesungen sind schon ein paar Jahre her, doch aus der Hüfte geschossen meine ich zu glauben, dass eine Abbildung genau dann total differenzierbar ist, wenn sich die Ableitung als lineare Abbildung formulieren lässt. Deren darstellende Matrix ist dann die Jacobi Matrix (Matrix der ersten partiellen Ableitungen) und diese Matrix existiert, wenn alle partiellen Ableitungen existieren und auch noch stetig sind.

    Wenn ich eine Aufgabe bekäme, würde ich versuchen zu untersuchen ob obiges gilt.

    Wenn ich eine Minute finde, sehe ich mir nachher mal dein Beispiel an.

    Hoffe das konnte zumindest ein wenig helfen.
    Grüße

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  • O

    Die partiellen Ableitungen in x- bzw y-Richtung existieren und die Funktion ist in (0.0) auch stetig.

    echt? bist du dir mit der existenz der partiellen ableitung sicher? Für mich sieht das spontan sehr danach aus, das zum Beispiel im Punkt (0,1) nicht wirklich irgendwas ableitbar ist.

    schau mal:

    ansatz: y=1, x>0 beliebig
    ∂∂x∣x∣=121∣x∣\frac {\partial}{\partial x}\sqrt{|x|}= \frac 1 2 \frac 1 {\sqrt{|x|}}
    ansatz: y=1, x<0 beliebig
    ∂∂x∣x∣=−121∣x∣\frac {\partial}{\partial x}\sqrt{|x|}= -\frac 1 2 \frac 1 {\sqrt{|x|}}

    lässt man x an beiden Seiten gegen 0 laufen dann kommt für den ersten term +∞ und für den zweiten -∞ heraus.

    Bei mir war der Ansatz, das ich mir zuerst angeschaut habe, ob funktionen vorkommen, die an einer Stelle nicht differenzierbar sind und ich habe dann geschaut, ob ich diese Stelle "triggern" kann.

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