aufgabe - glücksrad - wahrscheinlichkeit - au haua aua!

[mathematiklegastheniker]

aufgabe:
bei einem glücksrad besteht eine wahrscheinlichkeit von 20% nach einmal drehen zu gewinnen.
wie oft muss man das rad drehen, damit man mindestens eine 90%ige chance zu gewinnen hat?

ich weiß, wie man es rechnet, ich weiß aber nicht warum man das so rechnet.
könnte mir mal bitte jemand erklären, warum man das nur über die gegenwahrscheinlichkeit berechnen kann und warum das nicht direkt geht?

[cl90]

das ganze ist Binominal. also:
du musst zu jedem n alle Kombinationsmöglichkeiten aufaddieren.
oder 1-Gegenteilig.

Du suchst nach 1 oder mehr.
also würde es sich lohnen "1 - Nur null treffer" zu rechnen.

die wahrscheinlichkeit für n durchläufe ohne zu gewinnen errechnet sich aus:

P = 1/5.
Pziel = 0.9

Bn,p(k) = 1-(n über k)*p^k*(1-p)(n-k)
für n = 10
ergibt das 1 - 0.107
mit n = 11
ist die chance = 1 - 0,8589
also 91,4%.

kurz: nach 11 Versuchen hast du eine 91%ige Chance mindestens einmal gewonnen zu haben.

verbessert mich wenn ich falsch liege, das geht leider relativ leicht bei solchen sachen

[mathematiklegastheniker]

vielen dank für deine mühe.
dein ergebnis ist richtig.
binomial hatte ich aber noch nicht. ich habe im buch geblättert, soweit bin ich frühstens in ein paar wochen.

im buch wurde es mit der gegenwahrscheinlichkeit gerechnet: 1-0,8^n >= 0,9
dann, nach einigen umformungen kommt man auf
n >= log 0,1/ log 0,8
n >= 11.

ohne erklärung, warum man die gegenwahrscheinlichkeit nehmen tut.

[SG1]

Naja, stell Dir vor, Du sollst berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, nach 4 Versuchen gewonnen zu haben. Wenn man gewinnt, bricht man ab.

Das ist gleichbedeutend damit, immer 4x zu drehen, und die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass mindestens ein Dreh ein Gewinn war. Soweit klar?

Wie berechnet man das jetzt? Entweder man berechnet $\sum_{i=1}^4 P(X=i)$ (wobei X angibt, wie oft man gewonnen hat), oder man berechnet $1-P(X=0)$. Ist ja beides das gleiche.

Jetzt spiel das ganze mal gedanklich für 5x drehen, 6x drehen, etc. durch. Man kommt immer auf $\sum_{i=1}^n P(X=i)$ bzw. $1-P(X=0)$.

Wenn jetzt aber n gesucht ist, kannst Du die erste Formel nicht nehmen, da da ja n drin vorkommt.

[mathematiklegastheniker]

wo es bei mir immer noch hapert ist, ich kann nicht sehen, wie und in welchem maß die wahrscheinlichkeit mit der anzahl der drehungen steigt.

wenn ich einmal am rad drehe ist das ja einfach, die wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist 0,2.
wie ist aber die wahrscheinlichkeit, wenn ich zweimal drehe?
wahrscheinlichkeiten addieren, also 0,2 + 0,2, geht ja nicht weil ich ja nach dem sechsten drehen P = 1,2 hätte.
multiplizieren geht auch nicht, 0,2 * 0,2, geht ja auch nicht, weil die wahrscheinlichkeit immer weiter abnehmen würde und 0,9 nie erreichen würde.

[fiesmops]

mathematiklegastheniker schrieb:

wenn ich einmal am rad drehe

kann das sein das du jetzt schon am rad drehst?

[dr. prof. laplace]

mathematiklegastheniker schrieb:

0,2 + 0,2, geht ja nicht weil ich ja nach dem sechsten drehen P = 1,2 hätte.

Geht nicht, wieso?
Dann hättest du ein X Ergeignis > sicheres Ergeignis, mit X = todsicher, d.h. ein todsicheres Ereignis.

[mathematiklegastheniker]

fiesmops schrieb:

mathematiklegastheniker schrieb:

wenn ich einmal am rad drehe

kann das sein das du jetzt schon am rad drehst?

dr. prof. laplace schrieb:

mathematiklegastheniker schrieb:

0,2 + 0,2, geht ja nicht weil ich ja nach dem sechsten drehen P = 1,2 hätte.

Geht nicht, wieso?
Dann hättest du ein X Ergeignis > sicheres Ergeignis, mit X = todsicher, d.h. ein todsicheres Ereignis.

nein, da wäre nichts sicher, weil man auch verlieren kann :p

[SG1]

mathematiklegastheniker schrieb:

wenn ich einmal am rad drehe ist das ja einfach, die wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist 0,2.
wie ist aber die wahrscheinlichkeit, wenn ich zweimal drehe?

Die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Versuchen mindestens einmal zu gewinnen, ist:

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch zu gewinnen PLUS die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch nicht zu gewinnen, dafür aber beim 2.

In Zahlen: 0,2 + 0,8*0,2.

[mathematiklegastheniker]

die zahl, die da rauskommt, sieh ja ganz vernünftig aus.
könntest du mir vllt mal erklären, wie du auf das produkt 0,8*0,2 kommst?
kann man das irgendwie herleiten?

wäre die wahrscheinlichkeit nach dem dritten versuch 0,2 + 0,8*0,2 + 0,8*0,8*0,2*0,2

[knivil]

Betrachte einfach das Komplementaerereignis: Wie oft muss ich drehen, damit die Wahrscheinlichkeit zu verlieren kleiner als 10% ist. Dann wird aus dem ODER - beim ersten Mal gewonnen ODER beim zeiten Mal gewonnen ODER beim dritten ... - ein UND - beim ersten Mal verloren UND beim zweiten Mal verloren UND beim dritten ... .

Dann ergibt sich 0.8^n < 0.1. Sehr einfach zu loesen.

n*ln(0.8) < ln(0.1)
n > ln(0.1)/ln(0.8)
n > 10.31..

=> n => 11

Die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Versuchen mindestens einmal zu gewinnen, ist:

1 - p' , wobei p' die Wahrscheinlichkeit ist, bei zwei versuchen immer zu verlieren.

In Zahlen: 0.8 * 0.8

ohne erklärung, warum man die gegenwahrscheinlichkeit nehmen tut

Weil es wesentlich einfacher zu rechnen ist.

PS: Binomialverteilung ... viel zu kompliziert zum Rechnen und viel zu einfach zum Verrechnen.

[mathematiklegastheniker]

nagut, dann mache ich das jetzt auch so.
danke für die tipps.

[SG1]

mathematiklegastheniker schrieb:

könntest du mir vllt mal erklären, wie du auf das produkt 0,8*0,2 kommst?

Ich dachte, das hätte ich gerade ^^

SG1 schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch zu gewinnen

0,2

PLUS die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch nicht zu gewinnen,

+0,8

dafür aber beim 2.

*0,2

[mathematiklegastheniker]

aaah, jetzt, ja!
iwie lange leitung gehabt.
danke!

[B4ndit]

Bleibt die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen nicht bei 20%, egal wie oft ich drehe, weil der Zufall kein Gedächtnis hat? Meine Chance auf einen Gewinn erhöht sich ja nicht, weil ich vorher nicht gewonnen habe, oder doch?

[Sone]

B4ndit schrieb:

Bleibt die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen nicht bei 20%, egal wie oft ich drehe, weil der Zufall kein Gedächtnis hat?

Am Roulette-Tisch ist die Wahrscheinlichkeit Schwarz/Rot zu treffen, immer 50%. Immer. Aber: Nach 10 mal hintereinander Rot immer noch Rot zu bekommen, ist unwahrscheinlicher, als Schwarz zu bekommen. Das heißt, hier Sprechen wir von einer Folge von Ereignissen. Das heißt, es hängt von der Perspektive ab, welche Wahrscheinlichkeit ein Ereignis hat.

[mathematiklegastheniker]

B4ndit schrieb:

Bleibt die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen nicht bei 20%, egal wie oft ich drehe, weil der Zufall kein Gedächtnis hat? Meine Chance auf einen Gewinn erhöht sich ja nicht, weil ich vorher nicht gewonnen habe, oder doch?

die wahrscheinlichkeit steigt mit der anzahl der drehversuche. das kannst du dir gut anhand eines baumdiagramms klar machen.
je öfter man dreht, umso mehr gewinnpfade hat das baumdiagramm, die gewinnwahrscheinlichkeiten addieren sich.

[Bashar]

Hier ist von zwei verschiedenen Ereignissen die Rede:

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei N Versuchen mindestens einmal zu gewinnen? Das ist das, was der OP gefragt hat, und es hängt von N ab.

2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das nächste Spiel zu gewinnen? Die Wahrscheinlichkeit ist (wenn das Spiel fair ist) fest, sie hängt insbesondere nicht davon ab, wieviele Versuche es vorher gegeben hat oder wie diese verlaufen sind.

[knivil]

Das heißt, es hängt von der Perspektive ab, welche Wahrscheinlichkeit ein Ereignis hat.

OMFG!

[Sone]

knivil schrieb:

Das heißt, es hängt von der Perspektive ab, welche Wahrscheinlichkeit ein Ereignis hat.

OMFG!

Wieso? Ich habe von Statistik leider keine Ahnung, aber so habe ich es im Gymnasium beigebracht bekommen...

Bashars Erklärung sieht aber richtiger aus.