Laplacscher Entwicklungssatz

[freakC++]

Hallo zusammen,

angenommen ich möchte von $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10^-5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10^-5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ die Determinante berechnen. Dann bietet sich der Laplacesche Entwicklungssatz an. Dabei sucht man sich immer die Zeile oder Spalte aus, die möglichst viele Nullen hat. Würde ich aber jetzt beispielsweise die erste Spalte wählen, so würde mein charakteristisches Polynom 0 lauten. Das ist aber falsch.

Nach welchen Kriterien muss ich also die Zeile/Spalte wählen, nach der ich entwickeln möchte?

Vielen Dank für die Hilfe
LG, freakC++

[dot]

freakC++ schrieb:

Würde ich aber jetzt beispielsweise die erste Spalte wählen, so würde mein charakteristisches Polynom 0 lauten. Das ist aber falsch.

Wieso ist das falsch?

[Jester]

freakC++ schrieb:

...Determinante berechnen... charakteristisches Polynom

Aber ne beliebige andere konstante würde dir keine sorgen machen? Du musst schon die richtige matrix hinschreiben für das chrarakteristische polynom.

[Kenner der Lösung]

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonaleinträge.

Folglich ist det(A) = 0 und charpol(A) = T²(T-10^{-5})².

[Herbststurm]

Hi

Der Entwicklungssatz verbietet nicht nach einer Nullzeile oder Spalte zu entwickeln. Das ist also nicht falsch. Bei dieser singulären Matrix sieht man aber sofort das sie Null ist, daher wäre Entwickeln eigentlich mit Kanonen auf Spatzen geschossen.

Anbei solltet ihr das Wort charakteristische Polynom vermeiden, weil dieses hier überhaupt nichts mit zu tun hat. Dieses Polynom, dessen Nullstellen Eigenwerte repräsentieren, wird zwar ebenfalls über eine Determinante berechnet, es ist aber hier egal wie diese berechnet wird. Der Laplacesche Entwicklungssatz ist hingegen eine Formel um die Determinante zu berechnen.

Gruß

[freakC++]

Danke für die Hilfe. Das hat mir geholfen.

LG, freakC++