4. Maximum Likelihood Schätzer

Maximum Likelihood Schätzer

  • F

    Hallo zusammen,

    seinen X1,...,XnX_{1},...,X_{n} unabhängig und identisch verteile Zufallsvariablen mit der Dichte f(x)={3x⋅2π⋅e−92(Θ−ln(x))2x≥00sonstf(x)=\begin{cases}\frac{3}{x \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{9}{2}(\Theta-ln(x))^2} & x \geq 0 \\ 0 & sonst \end{cases}.

    Ich möchte einen Maximum-Likelihood-Schätzer für Θ\Theta bestimmen. Dazu habe ich bereits folgendes gerechent.

    L(Θ;x1,...,x2)=∏i=1nfΘ(xi)=∏i=1n3xi⋅2π⋅e−92(Θ−ln(xi))2=(∏i=1n3xi⋅2π)⋅e−92⋅∑i=1n(Θ−ln(xi))2L(\Theta; x_{1},...,x_{2}) = \prod_{i=1}^n f_{\Theta}(x_{i}) = \prod_{i=1}^n \frac{3}{x_{i} \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{9}{2}(\Theta-ln(x_{i}))^2} = (\prod_{i=1}^n \frac{3}{x_{i} \cdot \sqrt{2 \pi}}) \cdot e^{-\frac{9}{2} \cdot \sum\limits_{i=1}^n (\Theta - ln(x_{i}))^2 }

    Mein Problem ist aber nun, dass ich nicht weiß, ich weiter vereinfachen kann. Wäre im linken Faktor das xix_{i} nicht, könnte ich anstatt des großen Produktes den ganzen Ausdruck einfach hoch n nehmen.

    Sobald ich diesen Ausdruck etwa vereinfacht habe, kann ich den Logarithmus nehmen und damit weiterrechnen. Ziel ist es nämlich, die Hochpunkte auszurechnen. Wegen der Monotonie des Logarithmus bleiben diese gleich.

    Sieht jemand, wie ich hier weiter vereinfachen kann?

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • C

    Nimm mal den Logarithmus (kannst auch gleich am Anfang machen), benutze die Logarithmus-Rechenregeln um aus sämtlichen Produkten Summen zu machen, die du dann verwursten kannst. Konstante Terme kannst gleich weglassen.

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  • F

    Ok, das habe ich mal gemacht. Stimmt die Rechnung soweit?

    Sei g:=ln(L(Θ;x1,...,xn))=ln((∏i=1n3xi⋅2π)⋅e−92⋅∑i=1n(Θ−ln(xi))2)=∑i=1n3xi⋅2π−92⋅∑i=1n(Θ−ln(xi))2=∑i=1n(3xi⋅2π−92(Θ−ln(xi))2)g:=\ln(L(\Theta; x_{1},...,x_{n})) = \ln ((\prod_{i=1}^n \frac{3}{x_{i} \cdot \sqrt{2 \pi}}) \cdot e^{-\frac{9}{2} \cdot \sum\limits_{i=1}^n (\Theta - \ln(x_{i}))^2 }) = \sum\limits_{i=1}^n \frac{3}{x_{i} \cdot \sqrt{2 \pi}} - \frac{9}{2} \cdot \sum\limits_{i=1}^n (\Theta - \ln(x_{i}))^2 = \sum\limits_{i=1}^n ( \frac{3}{x_{i} \cdot \sqrt{2 \pi}} - \frac{9}{2} (\Theta - \ln(x_{i}))^2 )

    Das leite ich jetzt ab:

    dgdΘ=∑i=1n−9(Θ−ln(xi))=∑i=1n−9Θ+9ln(x_i)=∑_i=1n−9Θ+∑i=1n9ln(x_i)=−9Θn+9∑_i=1nln(xi)\frac{dg}{d\Theta} = \sum\limits_{i=1}^n -9(\Theta - \ln(x_{i})) = \sum\limits_{i=1}^n -9\Theta + 9\ln(x\_i) = \sum\limits\_{i=1}^n -9\Theta + \sum\limits_{i=1}^n 9\ln(x\_i) = -9\Theta^n + 9\sum\limits\_{i=1}^n \ln(x_i)

    Diesen Ausdruck muss ich nun nach Θ\Theta auflösen.

    Was meint ihr dazu?

    Danke 😃

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  • O

    der ltzte Schritt ist falsch. Aber wenn man das korrigiert, passt das Ergebnis logisch.

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  • F

    Wo fängt denn der letzte Schritt bei dir an? Kannst Du mir die Stelle mit dem Fehler zeigen?

    Muss es so heißen: dgdΘ=−9nΘ+9∑i=1nln(xi)\frac{dg}{d\Theta} = -9n\Theta + 9\sum\limits_{i=1}^n \ln(x_i)

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