Lösbarkeit von Gleichung

[Lina]

Ich habe hier eine Aufgabe vorliegen, die ich nicht wirklich lösen kann und würde mich über Ansatz + Lösung und evt Erklärung freuen.

Sei A ∈ Mat(n, Z) (also eine Matrix mit Einträgen in Z ) mit det(A) = 1 und sei
x ∈ Z^n ein Spaltenvektor.
Zeigen Sie, dass es einen Spaltenvektor y ∈ Z^n gibt mit Ay = x.

Ich habe hier eine sehr komplizierte Lösung gesehen, die sich meinem Vorstellungsvermögen entzieht. Ich hätte einfach behauptet, dass A invertierbar ist und y = A^(-1) * x gilt.

Das scheint aber nicht richtig zu sein ...

Und nun sitze ich da und hoffe auf Hilfe

[Helfer in der Not]

Doch, eine Matrix A mit Einträgen aus einem kommutativen Ring R mit 1 ist genau dann invertierbar, wenn det(A) eine Einheit in R ist (zeigt man mit der Adjunkte http://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte).