Basiswechsel Matrizen bestimmen

Ich versuch mir gerade Basiswechsel und Transformationsmatrizen beizubringen, scheitere aber noch an einigen Stellen.

Ich habe mir folgendes Beispiel geholt:

Der betrachtete Vektorraum sei $\mathbb{R}^2$ .

Nun sei einmal die kanonische Basis $E = \{e\_1, e\_2\}$ und einmal eine Basis $B= \left\{ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \right\}$ gegeben.

Ich habe kein Problem die Vektoren von B als Linearkombination von E darzustellen:

$b\_1 = ~~~1 \cdot e\_1 + 1 \cdot e_2$
$b\_2 = -1 \cdot e\_1 + 1 \cdot e_2$

Nun sollte ich von diesen Rechnungen auf ein Transformationsmatrix von B nach E schließen können, welche

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

ist.

Nur verstehe ich das nicht ganz. Weshalb ist zB die Transformationmatrix genau das Transponierte der von mir berechneten Koeffizienten?

(Was ich damit meine: wenn ich in den Gleichungen für b1 und b2 jeweils die e1 und e2 weglasse, hätte ich ja die Matrix
1 1
-1 1

dastehen, was ja das Transponierte der Lösung ist.

random name schrieb:

Transformationsmatrix von B nach E

Was du hast, ist von E nach B:

$b\_1 = ~~~1 \cdot e\_1 + 1 \cdot e_2$
$b\_2 = -1 \cdot e\_1 + 1 \cdot e_2$
$b = R_{eb} \cdot e$

$R_{eb} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Du suchst aber $R_{be}$
Für Rotationsmatrizen gilt http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Eigenschaften

$R^{-1} = R^T$
$R_{be} = R_{eb}^T$

Dann passt es wieder

Jester

Das ist keine Rotationsmatrix.

otze

Weil Jester zu Faul war auch zu schreiben warum:

Normalisier die Basisvektoren, dann is es eine. Orthogonal sind sie ja schon.

Jester

Stimmt, das ist aber trotzdem gefährlich. Im Allgemeinen stimmt bei einem Basiswechsel nichtmal das. Man muss die Matrix invertieren. Punkt. Dass das hier mit nem einfachen Rechentrick geht halte ich für nebensächlich.

otze

"denn orthogonal sind sie ja schon". Unter den beiden Bedingungen geht das immer.