4. Quadratische Funktion gesucht

Quadratische Funktion gesucht

  • I

    Hallo,

    ich hab folgende Informationen über eine Parabel:

    Sie geht durch P(0|0).
    Sie umschließt mit der X-Achse den Flächeninhalt 4.
    Ihr Minimum hat den Y-Wert -1.

    Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich jetzt zur Funktionsgleichung kommen kann?

    Und wo wir schonmal dabei sind, wie löst man nochmal Aufgaben wie

    Bestimme den Parameter k so, dass die mit der X-Achse umschlossene Fläche 8 ergibt:

    x3-k2*x

    ? Wäre für jede Hilfe dankbar.

    0
  • K

    Fuer ax^2 + bx + c = f(x) und P(0|0) = > c = 0
    NST: x = 0 und ... -b/a
    Ihr Minimum hat den Y-Wert -1. => Sie ist nach oben offen.
    D.h Integral in den Grenzen von -b/a bis 0 bzw. Stammfunktion hinschreiben, also F(0) - F(-b/a) = 4 wobei F(x) = a/3 x^3 + b/2 x^3
    Minimum -1 liegt immer zwischen den Nullstellen, oder einfach ableiten und 0 setzen. D.h f(-b/(2a)) = -1 => b^2 = 4a

    Bestimme den Parameter k so, dass die mit der X-Achse umschlossene Fläche 8 ergibt:

    x3-k2*x

    ? Wäre für jede Hilfe dankbar.

    Grenzen der Flaeche bestimmen, d.h NST in Abhaengigkeit von k. Mittels Stammfunktion die Flaeche in abhaengigkeit von k bilden, Grenzen einsetzen = > 1 Gleichung mit 1 Unbekannten.

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  • I

    Erstmal danke für die Antwort 😉

    Ich hab trotzdem nicht so viel kapiert.
    Was heißt NST? Ist -b/a immer die zweite Nullstelle bei einer nicht verschobenen Parabel?

    knivil schrieb:

    D.h Integral in den Grenzen von -b/a bis 0 bzw. Stammfunktion hinschreiben, also F(0) - F(-b/a) = 4 wobei F(x) = a/3 x^3 + b/2 x^3

    Was hab ich denn davon wenn ich das mache? das ist doch ne Gleichung mit 2 Unbekannten..

    knivil schrieb:

    Minimum -1 liegt immer zwischen den Nullstellen, oder einfach ableiten und 0 setzen. D.h f(-b/(2a)) = -1 => b^2 = 4a

    Damit kann ich jetzt irgendwie gar nichts mit anfangen.. Wie kommst du auf -b/2a? Ist das ne allgemeine Form für den Extrempunkt einer Parabel? Und wie kommst du auf "=> b^2 = 4a"? Wenn ich in ax^2+bx -b/2a für x einsetze steht da doch irgendwie a*(-b/2a)^2+b*(-b/2a) = -1?

    Und dann noch

    knivil schrieb:

    Grenzen der Flaeche bestimmen, d.h NST in Abhaengigkeit von k.

    Wie bestimmt man denn die Grenzen?

    0
  • K

    gesucht: Parameter der quadratische Funktion f(x) = ax^2 + bx + c
    gegeben:
    a) P(0|0) Punkt der Parabel
    b) Minimum ist -1
    c) Flaeche mit x-Achse = 4

    Wir haben 3 Unbekannte a, b, c und benoetigen mindestens 3 Gleichungen um diese 3 Unbekannten aus den gegebenen Anhaltspunkten eindeutig zu bestimmen. Diese 3 Glecihungen ergeben sich aus den 3 Hinweisen a), b) und c).

    Loesung:
    a) f(x) = y mit x = 0 und y = 0 folgt
    f(0) = (0)^2 + b(0)^2 + c | x = 0 eingesetzt
    0 = a(0)^2 + b(0)^2 + c | f(0) = 0 eingesetzt
    0 = a*0 + b*0 + c
    0 = c

    daraus folgt, c = 0

    b) heisst soviel, dass Minimum an Stelle min ist -1, formal f(min) = -1
    Da quadratische Funktionen in der Mitte gespiegelt werden kann, liegt die Extremstelle direkt auf der Spiegelachse. Das folgt aus der Symmetrie. Formal kann es auch aus der Ableitung errechnet werden:
    f'(x) = 2ax + b
    f(min) = 2a(min) + b
    0 = 2a(min) + b | Anstieg verschwindet am Extremalpunkt, bzw. f'(min) = 0
    -b/(2a) = min

    Da die quadratische Funktion nach unten beschraenkt ist (Minimum) ist sie nach oben geoeffnet, d.h. der Parameter a ist positiv.

    Einschub:
    Nst: f(n) = a n^2 + b n + c mit n als Nullstele (es sollte 2 geben)
    0 = a n^2 + b n | c = 0 und f(n) = 0 weil Nullstelle
    0 = n(an + b)
    wenn einer der Faktoren (also n oder an+b) Null ist, dann wird das ganze Produkt Null, d.h.:
    Fall 1: n = 0 (trivial)
    Fall 2: an + b = 0
    =>n = -b/a

    Und die Extremstelle liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: (0 + (-b/a)) / 2 = -b/(2a)

    Wieder beim Thema:
    Wir wissen nun, dass P(-b/(2a)|-1) ebenfalls ein Punkt der quadratischen Funktion ist. d.h. es gilt
    f(-b/(2a)) = a (-b/(2a))^2 + b (-b/(2a)) | einfach eingesetzt, c ist immernoch 0
    -1 = a (-b/(2a)^2 + b (-b/(2a)) | f(-b/(2a)) = -1
    -1 = b^2/(4a) - b^2/(2a)
    -1 = -b^2/(4a)
    4a = b^2

    Btw. unsere 2te von 3 Gleichung um a, b, c eindeutig zu bestimmen.

    c) Flaeche mit x-Achse ist 4. Hier ist wahrscheinlich die Flaeche des Graphen zwischen den beiden Nullstellen gemeint.

    Also Integral von -b/(a) (Anfang, Nst 1) bis 0 (Ende, Nst 2) ueber f(x) ist 4. => Stammfunktion F aufstellen. Und F(Anfang) - F(Ende) ist die umschlossene Flaeche mit der x-Achse, also F(0) - F(-b/(a)) = 4.
    F(x) = a/3 x^3 + b/2 x^2 | bestimmtes Integral
    4 = F(0) - F(-b/(a))
    4 = 0 - [a/3 (-b/(a))^3 + b/2 (-b/(a))^2]
    4 = b3/(3a2) - b3/(2a2)
    4*6a^2 = 2 b^3 - 3 b^3 | 6a^2 erweiter/multipliziert
    24 a^2 = - b^3

    Juhu, unsere 3te Gleichung

    Gleichung aus b) in c) einsetzen:
    24 (b2/4)2 = - b^3
    3/2 b^4 = - b^3 | dividiere b^3, bitte pruefen, dass b ungleich 0 ist, was hier der Fall ist
    3/2 b = -1

    b = -2/3
    a = 1/9
    c = 0

    Nun, das ist nur die halbe Wahrheit, es gibt nämlich 2 moegliche Parabeln, da die Nusllstelle -b/a einmal links als auch einmal rechts von der y-Achse liegt. Das muss im Fall c) Anfang und Ende einfach vertauscht werden, was das Vorzeichen von b andern sollte (ungeprueft).

    Antwortsatz: Die gesuchte Funktion lautet f1(x) = 1/9 x^2 - 2/3 x und f2(x) = 1/9 x^2 + 2/3 x .

    Wie bestimmt man denn die Grenzen?

    Indem man die Nullstellen der Funktion in Abhaengigkeit von k ausrechnet. Also:
    f(n) = 0 = n^3 - k^2 n
    0 = n(n^2 - k^2)
    Fall 1: n = 0 (trivial)
    Fall 2: n^2 - k^2 = 0
    n^2 = k^2
    n=k und n = -k
    => 3 Nullstellen {-k, 0, k}

    Und jetzt Flaucheninhalt von -k bis 0 berechnen und von 0 bis k berechnen in Abhaengikeit von k (wie oben, einfach in Stammfunktionen einsetzen).

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  • I

    Wow, danke für die ausführliche Antwort! Hat einfach alles erklärt 👍

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