Fragen zum Orthonormalsystem

seux

Hallo,

Ich verstehe nicht, welchen nutzen und Sinn das Orthogonalsystem/Orthonormalsystem haben.

Gegeben hab ich eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, welche meinen Unterraum aufspannen. Mit dem Gram-Schmidt Verfahren kann ich ja nun ein Orthogonalsystem/Orthonormalsystem berechnen. Aber warum sollte ich das tun? Meine Vektoren sind doch schon linear unabhängig und somit ja auch ein Erzeugendensystem für diesen Unterraum.

vg, seux

SeppJ

Wenn sie aber zusätzlich noch orthogonal sind, dann weißt du beispielsweise, dass $\vec e\_i \cdot \vec e\_j = 0$ , wenn $\vec e_i$ und $\vec e_j$ Basisvektoren (oder deren Vielfache) sind. Was dann doch manchmal recht nützlich sein kann . Beispielsweise, wenn man die (euklidische) Norm eines Vektors berechnen möchte.

Wie SeppJ schon gesagt hat, nur um das noch ein wenig zu ergänzen:
Der Vorteil ist, dass du rechnen kannst "wie in einem normalen Koordinatensystem". Insbesondere eliminierst du eine gewisse Redundanz aus deiner Basis: Keine zwei Vektoren eines ONS haben "Anteile derselben Richtung", und es ist ziemlich einfach, für einen beliebigen Vektor eine Basisdarstellung zu ermitteln. Eine prominente Anwendung hat die Menge von Funktionen e_k := x → e^ikx, k aus Z. Die bilden nämlich eine ONB von C(R), und die Darstellung einer Fkt. f durch die e_k ist einfach nur die Fourierreihe von f.

JFB schrieb:

Eine prominente Anwendung hat die Menge von Funktionen e_k := x → e^ikx, k aus Z. Die bilden nämlich eine ONB von C(R

Eine Schauderbasis, keine Hamelbasis