Beweis einer Ungleichung mittels voll. Induktion

Guten Abend.

Ich habe hier eine Ungleichung, die mittels vollständiger Induktion zu beweisen ist.

$H_{n} - H_{m} >= \frac{n - m}{n}$ für alle $n >= m,$ und $m >= 1$

Wobei $H_{n}$ und $H_{m}$ die harmonische Reihe ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe
Wie eine induktion geht weiß ich, aber nicht, wenn ich 2 Variablen in der Ungleichung habe.
Kann mir wer kurz erklären, wie ich so was angehe?

Danke.

otze

Ich würde so vorgehen:

1. zeige die Behauptung für n=m=1
2. zeige die Behauptung per Induktion für beliebige n=m
3. zeige die Behauptung für ein fixes m und n>m per Induktion (induktionsstart ist hierbei der Beweis von 2.)

Hallo otze.

Ok Schritt 1 ist trivial.
Schritt 2 hab ich keine Ahnung, ob ich das machen darf:

$n=m=n+1$ für beliebige n (meintest du das so?)

Wann ja, dann weiß ich aber nicht, wie ich hier vorgehen soll...oder ob das so passt.

$H_{n+1} - H_{n+1} >= frac{(n+1)-(n+1)}{n+1}$
Egal, was ich für m und n einsetze, solange m=n ist, kommt immer 0>=0.
Ist das ok so?
Aber wie mache ich dann weiter?

otze

im Fall n=m hast du natürlich nur noch eine Variable.

und n=n+1 sollte dir direkt augenkrebs erzeugen.

also n->n+1 und m=n

//edit und 0>=0 ist doch eine wahre aussage => weiter mit 3.

Bashar

Unabhängig davon, ob es hier einfacher geht oder nicht, gibt es keine prinzipiellen Schwierigkeiten mit mehreren Variablen. Man macht erst eine Induktion nach einer der Variablen, und muss dann zwischendrin eine weitere Aussage über eine Eigenschaft der anderen Variable per Induktion beweisen. Induktion in der Induktion.

Je nachdem, mit welcher Variablen man beginnt, kann das ganze unterschiedlich schwer werden.

Irgendwie funktioniert bei mir die Induktion trotzdem nicht.
Schritt 1 und 2 funktionieren so weit.
Aber Schritt 3? Da bekomm ich auf einmal einen Riesenterm, der zwar stimmt, mir aber in keinster weise weiter hilft.

Ich habe mit dem Schritt 3 so begonnen:
$n+1 >= m+1$
Ich habe absolut keinen blassen Schimmer, ob das stimmt. Muss ich in Schritt 3 wieder Anfang und Schritt machen, oder reicht mir die obige Bedingung? Kann ich die so überhaupt machen?

otze

der Anfang ist Blödsinn. warum steht dort ein m+1? m ist konstant, das musst du nicht inkrementieren. Der Trick ist ja, dass du aus der Induktion über 2 Variablen 2 Induktionen mit einer Variablen machst. Eine hast du schon gezeigt(n=m), die zweite fehlt noch.

Sei m fest aber beliebig. Annahme: die Aussage gilt für H_n - H_m , n>=m

$H_{n+1} - H_{m} = \frac 1 {n+1} + H\_n - H\_m \geq \frac 1 {n+1} + \frac{n-m} n$
die Ungleichung ist die Anwendung der Induktionsannahme.