Lösen einer Ungleichung

Guten Abend.

$m^2 < (\frac{5}{4})^m$
Laut Angabe soll ich ein m finden, das die Ungleichung erfüllt. Bedingung: $m \in N$ und $m> 1$
Durch probieren habe ich eine Zahl herausbekommen, aber mich würde interessieren, wie man das irgendwie rechnerisch herausbekommt.
Gibts da einen Weg, die Ungleichung durch Unstellen, Umformen, ... zu lösen?

Danke

Michael E.

Mehr oder weniger. Ich ersetze erst mal die Ungleichung durch eine Gleichung $m^2 = (\frac{5}{4})^m$ . Dann versucht man, diese Gleichung auf die Form $x \cdot e^x = y$ zu bekommen, um Lambert-W draufzuwerfen. Hier dann z.B.:

\begin{align*} m^2 = (\frac 54)^m \Leftrightarrow m = (\frac 54)^{m/2} = \exp(\frac m2 \log \frac 54) \Leftrightarrow - \frac m2 \log( \frac 54) \exp(- \frac m2 \log \frac 54) = \frac 12 \log \frac 54 \Leftrightarrow W(\frac 12 \log \frac 54) = - \frac m2 \log \frac 54 \Leftrightarrow m = - \frac{2 W(\frac 12 \log \frac 54)}{\log \frac 54} \end{align*}

Auf diese Weise kommt man auf m = -0.9. Wählt man den $W_{-1}$ -Zweig statt den $W_0$ -Zweig, kommt man auf m = 30.7. Also ist die gesuchte Antwort m >= 30.7.

Edit: LaTeX-Code unvollständig.

volkard

edit1: uuops

edit2: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^{2%3C%285%2F4%29}x]Wolfram Alpha[/url]
Das macht mir Angst.

SeppJ

Ich nehme mal an, du willst hier wohl m^2 = (5/4)^m für m in R lösen, oder?

Ich fürchte, hier muss letztendlich dann doch irgendwann numerisch entwickelt werden. Ein extrem hochgestochenes Stichwort wäre hier die Lambertsche W-Funktion, die eine Standardschreibweise ist für die Lösung der Gleichungen, die hier auftreten. Das Ding ist nicht mehr analytisch aufschreibbar. Das Ding ist sogar mehrmwertig für bestimmte Werte und wenn man die Zahlen hier einsetzt sieht man, dass man an einer Stelle tatsächlich im mehrwertigen Bereich ist. Daher bekommt man insgesamt 3 Lösungen. Wenn ich das Ding mal in den Taschenrechner tippe, bekomme ich
-0.904 ("normale" Lösung)
1.135 (Gegenstück zur normalen Lösung, da man an einer Stelle eine Wurzel zieht und Fallunterscheidung machen muss)
30.69 (Da die zweite Lösung das Auswerten von W(-0.112) verlangt und es dafür aber zwei reale Werte gibt, gibt es diese dritte Lösung)

Daraus folgt für Ganzzahlen m > 1 ein einzelner Übergang bei m=30 zu m=31. Dann guckt man noch nach, auf welcher Seite was ist^* und stellen somit fest, dass die Ungleichung für m >= 31 erfüllt ist. Prinzipiell wäre sie auch noch für die Ganzzahlen 0 und 1 erfüllt, aber das war ja wohl ausgeschlossen, da es zu einfach wäre.

^*: Wir haben natürlich vorher festgestellt, dass m^2/(5/4)m stetig ist.

edit: Oh, viel zu langsam.

...bin gerade mehr als sprachlos
Ich dachte mir schon, dass es wahrscheinlich etwas schwierig werden könnte, aber für mich als 1-Semestler in Informatik ist das dann doch etwas zu hoch. Da bleibe ich lieber beim Einsetzen und Probieren.
Trotzdem vielen Dank für die tollen Erklärungen.

Gute Nacht