betragsungleichung - lösungsmenge berechnen - funzt net

hi

es geht um diese betragsungleichung: (x-1)(x²-x-2)/x <= |x-1|
ich mache eine fallunterscheidung:

|x-1| >= 0 ⇒ |x-1| = x-1
|x-1| < 0 ⇒ |x-1| = -(x-1) = -x+1

und betrachte die beiden fälle separat:

(x-1)(x²-x-2)/x <= x-1 | *1/x-1
(x²-x-2)/x <= 1 | *x
(x²-x-2) <= x
x²-x-2 <= x | -x
x²-2x-2 <= 0
x1 = 1 + √3
x2 = 1 - √3

1 - √3 <= x <= 1 + √3

nun hätte ich vermutet, dass 1 - √3 <= x <= 1 + √3
der definitionsbereich ist, der die betragsungleichung erfüllt.
die kontrolle mit mathematika liefert allerdings ein ernüchterndes ergebnis:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-1)(x²-x-2)%2Fx+++++<%3D+|x-1|

die lösung ist laut mathematika 1<=x<=1+√3
verflixt!

die umformung der gleichung ist hier wohl wörtlich zu nehmen.
die gleichung wird zu x²-2x-2 <= 0 derart umgeformt, dass sich die parabel
und nullstelle ändert.

wie würde man bei so einer aufgabe richtig herangehen?

volkard

mathe n00b schrieb:

(x²-x-2)/x <= 1 | *x

Da haste nicht fallunterschieden, fürchte ich. Musst immer bei * oder / unterscheiden(, außer, Du bis in einem Fall, wo es eh klar ist).

sorry, der link ist irgendwie zerhackstückelt worden
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-1)(x²-x-2)%2Fx+<%3D+0

stimmt, da habe ich nicht unterschieden.
das wusste ich nicht, dass man bei */ auch noch separat unterscheidet.

|x-1| >= 0 ⇒ |x-1| = x-1

(x-1)(x²-x-2)/x <= x-1

1.1)
x >= 0

(x²-x-2)/x <= 1 | *x
(x²-x-2) <= x
x²-x-2 <= x | -x
x²-2x-2 <= 0

x1 = 1 + sqrt(3)
-> (1 + sqrt(3))^2 - 2(1 + sqrt(3)) - 2 = 0

x2 = 1 - sqrt(3)
-> (1 - sqrt(3))^2 - 2(1 - sqrt(3)) - 2 = -2.46

1.2)
x < 0

(x²-x-2)/x <= 1 | *x
x²-x-2 >= x | -x
x²-2x-2 >= 0
x1 = 1 + √3
-> (1 + sqrt(3))^2 - 2(1 + sqrt(3)) - 2 = 0

x2 = 1 - √3
-> (1 - sqrt(3))^2 - 2(1 - sqrt(3)) - 2 = -2.46 unbrauchbar weil x²-2x-2 >= 0 sein muss

jetzt habe ich es soweit unterschieden, dass ich sagen kann:
|x-1| >= 0 und x >= 0 -> x1 = 1 + sqrt(3), x2 = 1 - sqrt(3)
|x-1| <= 0 und x < 0 -> x1 = 1 + sqrt(3), x2 ist keine Lösung

fehlt mir leider noch der schritt, wie ich auf 1<=x<=1+√3 kommen kann.
irgendwie blicke ich da gar nicht mehr richtig durch

sorry wegen der unterschiedlichen schreibweise, mal mit √ umd mal mit sqrt.
ich habe eben während der fallunterscheidung die zwischenschritte mit nem programm verifiziert, dafür brauche ich die sqrt funktion

in der drittletzten zeile der rechnung hab ich noch ein = zuviel, das muss heißen
|x-1| < 0 und x < 0 -> x1 = 1 + sqrt(3), x2 ist keine Lösung

ich denke, jetzt muss irgendwie die nullstelle der betragsgleichung mit ins spiel kommen, ... *grüüübel* ...

okay, ich denke ich habs jetzt.
man muss sich jetzt die beiden graphen und deren nullstellen angucken und überlegen, wie weit der bereich der lösungsmenge gehen darf.

vielen dank für den tipp mit der fallunterscheidung!

lg
m.n.