Inverses Element

[inverse]

Hallo Forum,

in $\mathbb Z_n^*$ sind alle Elemente, die ein Inverses zu n haben.

Beispiel: $\mathbb Z_{16}^* = \{1,3,5,7,9,11,13,15\}$.

Warum aber sind nicht 14 und 2 drin? 14 + 2 mod 16 ist doch auch 0.

[SeppJ]

Die Operation dieser Gruppe entspricht aber der Multiplikation der natürlichen Zahlen modulo 16.

Guckst du:
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n

[Bashar]

$\mathbb{Z}_n$ mit der Addition von Restklassen ist eine abelsche Gruppe, so dass jedes Element ein additives Inverses hat. Dazu braucht man keine besondere Kennzeichnung. Was man mit $\mathbb{Z}_n^*$ meint sind die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses haben. $\mathbb{Z}_n^*$ nennt man dann die Einheitengruppe von $\mathbb{Z}_n$, ihre Elemente Einheiten.

Jetzt sieht man leicht ein, dass x nur dann Einheit von $\mathbb{Z}_n$ sein kann, wenn x teilerfremd zu n ist. 14 und 2 sind gerade, d.h. alle ihre Vielfachen sind gerade, es kann also nie 1 (mod 16) herauskommen.

[inverse]

danke schonmal. aber was ist denn das Inverse von 15? Ich dachte, dass beim inversen dann 15 + x mod 16 = 1 gelten muss, da 1 das neutrale Element ist. x muss also 2 sein, aber 2 ist ja nicht drin....

[inverse]

äh...das + soll ein * sein. es gilt ja die Multiplikation

[Bashar]

15*15 = 225 = 224+1 = 1 (mod 16)

[inverse]

ahh^^. thx

[Bashar]

Kann man sich auch einfacher überlegen (wenn man dran denkt :p): 15 ≡ -1 (mod 16), und -1 * (-1) = 1.

[volkard]

Bashar schrieb:

Kann man sich auch einfacher überlegen (wenn man dran denkt :p): 15 ≡ -1 (mod 16), und -1 * (-1) = 1.

Hat mir in der entsprechenden Klausur voll Rechnen gespart. (-1)(-3) [oder sowas war es] zu rechnen ist schon flott statt 1513 [oder sowas].