Betragsungleichung mal wieder :)

hi

ich habe hier eine betragsungleichung, bei der ich nicht weiter weiß.
kann mir jemand helfen?

|3x + 2| <= |1 - 2x|

3x + 2 <= 1 - 2x
3x + 2x <= 1 - 2
5x <= -1
x <= -1/5

3x + 2 <= -1 + 2x
3x - 2x <= -1 - 2
x <= -3

-3x - 2 <= 1 - 2x
-3x + 2x <= 1 + 2
-x <= 3
x >= -3

-3x - 2 <= -1 + 2x
-3x - 2x <= -1 + 2
-5x <= 1
x >= -1/5

wie bilde ich jetzt die vereinigungsmenge von

x <= -1/5
x >= -1/5
x <= -3
x >= -3

m.m.n ist die vereinigungsmenge die menge aller reellen zahlen.
hmm ... aber es soll was anderes rauskommen

Bashar

Du machst einfach Fallunterscheidungen nach Schema F, aber verstehst du, wieso du die machst? Was genau ändert sich denn zwischen den Fällen, also was genau ist dafür verantwortlich, dass z.B. Fall 1 und nicht Fall 2 eintritt?

Bashar schrieb:

Du machst einfach Fallunterscheidungen nach Schema F, aber verstehst du, wieso du die machst?

ja, weil das argument der betragsfunktion < 0 werden kann, in dem fall ist der funktionswert das negative argument.

Bashar schrieb:

Was genau ändert sich denn zwischen den Fällen, also was genau ist dafür verantwortlich, dass z.B. Fall 1 und nicht Fall 2 eintritt?

fall 1 tritt unter der bedingung 3x + 2 <= 1 - 2x ein und fall 2 tritte ein wenn
3x + 2 <= -1 + 2x gilt. oder worauf möchtest du hinaus?

SG1

Na, die Bedingungen musst Du beim Ergebnis natürlich auch berücksichtigen!

ja, aber es gelten doch alle vier bedingungen.

Daniel E.

Nö, hatten wir doch beim letzten mal schon.

Schau dir zB. (2) an:
3x + 2 <= -1 + 2x

Was haste da gemacht? Da steckt doch schon ne Annahme drin, nämlich, dass -1+2x>0 und 3x+2>0 gilt. Nur unter diesen beiden Bedingungen hat das Ergebnis, das Du hier produzierst, überhaupt eine Relevanz.

Mal es dir doch einfach nochmal in Ruhe auf, das sind vier Geradenabschnitte. Wo sind die Schnittpunkte, wie sehen die Ungleichungen in den jeweiligen Bereichen aus und was ist damit die gesamte Lösungsmenge ...

Bashar

Fall 1 soll eintreten, wenn 3x+2 >= 0 und 1-2x>=0, das heißt (äquivalent umgeformt), wenn x >= -2/3 und x <= 1/2 ist. DAS ist eigentlich die Bedingung, unter der der Fall eintritt.

Jetzt hast du ermittelt, dass in Fall 1 weiterhin gelten muss x <= -1/5. Alle diese Bedingungen zusammen ergeben -2/3 <= x <= -1/5.

Das gleiche machst du für die anderen Fälle, und fügst die Lösungsmengen am Ende zusammen.

ooh man! ja, verflixt!!
jetzt weiß ich wieder ... vielen dank!