Beweis Zahlenfolge

Ethon

Hoi,
Ich versuche gerade ner Freundin bei ihren Matheaufgaben zu helfen - nur blöd dass ich von Beweisen mittlerweile keinen Peil mehr habe und deswegen auf keine Lösung komme. (Denke der Beweis sollte einfach sein, habe mir nur in den letzten Jahren jedes mathematische Wissen abgetötet...)

$x_n$ sei eine Nullfolge.
$c_n$ sei eine beschränkte Zahlenfolge.
Z.z.: Die Folge $y_n$ mit $y\_n := c\_n x_n$ konvergiert für $n -> \infty$ gegen $0$ .

Geht das nicht sogar per Induktion über n?

Würden uns freuen wenn jemand seine sozialen 2 Minuten hätte um ne Lösungsidee/Lösung dazulassen.
Danke & Grüße,
Ethon

Induktion eher nicht.
Sei C > |c_k| f.a. k aus IN (ex. wg. Beschränktheit).
Sei e > 0. Dann gibt es n₀ aus IN mit |x~n[t]| < e/C für n > n[t]0~. Dann ist |x_nc_n| < C|x[t]n[/n]| < C(e/C).

Das hat nicht funktioniert...diesmal mit Unterstrich.

C wie oben, e > 0 beliebig. Dann ex. n_0 aus IN mit |x_n| < e/C f.a. n > n_0, weil x_n konvergent gg. 0.
Damit ist |c_n * x_n| < C|x_n| < C(e/C) = e für alle n > n_0.

icarus2

Ich weiss nicht genau wie du das mit Induktion beweisen möchtest.

Hier ein anderer Ansatz:
Da $c_n$ eine beschränkte Folge ist existiert per Definition ein $M \in \mathcal{R}$ , so dass $c_n \leq M \;\forall n \in \mathcal{N}$ .
Dann hast du
$lim_{n\to\infty} |c\_n x\_n| = \lim_{n\to\infty} |c\_n| \cdot |x\_n| \leq \lim_{n\to\infty} M \cdot |x\_n| = M \cdot \lim\_{n\to\infty} |x_n| = M \cdot 0 = 0$ .

*Edit
Sorry für die vielen Edits. Latex Vorschau funktioniert im Moment nicht.

Ethon

Super, dankeschön!