Brauche relativistische Formel

Welche Strecke s legt ein Raumschiff bis zum Zeitpunkt t zurück und welche maximale Geschwindigkeit v relativ zur Erde wird zur Zeit t/2 erreicht, wenn man das Raumschiff mit einer gleichmäßigen Beschleunigung von a bis zur Zeit t/2 beschleunigt und dann ab t/2 mit der gleichen Beschleunigung von a wieder abbremst?

Ich suche hierfür eine Formel die auch bei relativistischen Geschwindigkeiten nahe c funktioniert.

Gravitationseffekte wie Swingby Manöver durch Sterne und Planeten sind bei dieser Frage zu vernachlässigen.
Es sei ein direkter gerader Flug anzunehmen.

a soll für die Formel ein Wertebereich sein, dessen oberste grenzen so zu wählen ist, dass c zur Zeit t/2 nicht überschritten wird.

SeppJ

Das klingt doch sehr nach einer Hausaufgabe. Hast du mal darüber nachgedacht, was hier der Ansatz sein könnte? Anscheinend nicht, daher mal ein Tipp (aber keine Lösung):
Du weißt sicherlich schon, wenn Beobachter A in seinem Inertialsystem eine Bewegung mit Geschwindigkeit v_A beobachtet, welche Geschwindigkeit dann ein mit Geschwindigkeit v_rel zu A bewegter Beobachter beobachten würde (eindimensional), oder? Falls nicht: Diese Grundlage brauchen wir hier, rechne das mal aus.
Eine Beschleunigung heißt, dass die Rakete nach einer Zeit Delta t die Geschwindigkeit Delta v dazu gewonnen hat, gesehen von dem ehemaligen Ruhesystem der Rakete. Wenn du nun die Delta t und Delta v sehr klein werden lässt...

Alternativ kannst du mal gucken, was "Rapidität" bedeutet, wie sie hergeleitet wird und wie sie sich wohl bezüglich einer konstanten Beschleunigung verhält.

Oder für eine ganz allgemeine Formel, die hier wohl den sprichwörtlichen Kanonen auf Spatzen entspricht, guckst du mal nach, was man mit dem Begriff "Viererbeschleunigung" meint.

SeppJ schrieb:

Das klingt doch sehr nach einer Hausaufgabe.

Ja, alles klingt immer nach einer Hausaufgabe.
Hast du schonmal darüber nachgedacht, dass ich Fragen präzise stellen kann und die dann nur wie Hausaufgaben aussehen aber keine sind?

Ich bin kein Physiker und auch kein Physikstudent, daher sind mir deine anderen Ratschläge nichtssagend, weil sie zu viel Hintergrundwissen vorraussetzen.

Ich möchte nur eine fertige Formel.

SeppJ

Interstellarer Raumflug schrieb:

Ja, alles klingt immer nach einer Hausaufgabe.
Hast du schonmal darüber nachgedacht, dass ich Fragen präzise stellen kann und die dann nur wie Hausaufgaben aussehen aber keine sind?

Ja. Und die Antwort ist, dass dies eher unwahrscheinlich ist. Dies ist die Hausaufgabe schlechthin zum Thema Addition von Geschwindigkeiten.

Ich möchte nur eine fertige Formel.

Strecke nach konstanter Beschleunigung:
$x=\frac{c^2}{a'}\cosh\left(\frac{a'\tau}{c}\right) - \frac{c^2}{a'}$
Dabei gestrichene Größen und τ aus Sicht der Rakete, ungestrichene Größen aus Sicht des (vormals ruhenden) Beobachters. Randbedingung $x(0) = 0$

Für eine Reise, bei der im zweiten Teil der Reise wieder abgebremst wird, musst du natürlich die Strecke nach der Hälfte der Zeit nehmen und verdoppeln.

Beispiel: Beschleunigung 1g, Beschleunigungszeit 1 Jahr, Bremszeit 1 Jahr:
x ≈ 2 * 0.56 Lichtjahre ≈ 1.13 Lichtjahre.

Danke für deine Antwort.

Bleibt eigentlich die Beschleunigung konstant, denn man hört ja immer, dass mit steigender Geschwindigkeit die Masse zunehmen würde und daher interstellare Reisen mit z.B. chemischen Antrieben nicht möglich wären.

Denn 1 g kriegt man mit chemischen Antrieben auch hin.
Ist natürlich ein Treibstoffproblem, denn die Rakete ständig brennen soll.
Aber mit anderen Antrieben, wie dem Ionenantrieb könnte man doch durchaus eine konstante Beschleunigung erzeugen und die dafür notwendig Energie aus z.B. einem Atomreaktor gewinnen.

Daher müßte es doch möglich sein mit ein paar mg konstant zu Beschleunigen oder nimmt die Beschleunigung dann mit steigender Geschwindigkeit ab, weil die Masse ansteigt?

SeppJ

Interstellarer Raumflug schrieb:

Bleibt eigentlich die Beschleunigung konstant, denn man hört ja immer, dass mit steigender Geschwindigkeit die Masse zunehmen würde

Kommt drauf an, von wo aus man guckt. Von der Erde aus gesehen beschleunigt die Rakete immer langsamer, ja. Von sich selbst aus gesehen beschleunigt die Rakete immer gleich.

und daher interstellare Reisen mit z.B. chemischen Antrieben nicht möglich wären.

Nicht aus oben genannten Grund. Das Problem ist, dass man bei einer richtigen Rakete auch den Treibstoff mitnehmen muss. Das heißt, man braucht nochmals mehr Treibstoff, um den Treibstoff ebenfalls zu beschleunigen, der ebenfalls beschleunigt werden muss...
Der Treibstoffbedarf wächst exponentiell. Da chemische Treibstoffe eine so geringe Energiedichte haben, kommt man selbst für kürzeste interstellare Reisen auf aberwitzige Treibstoffmengen.
Für chemisch getriebene Raketen gibt es aber den Ansatz, dass man ja nur beim Start und Ziel beschleunigen kann und sich dazwischen treiben lässt. Das Problem ist, dass die Reisezeit dann selbst für kurze Reisen in die Jahrtausende geht, während man mit konstanter Beschleunigung selbst andere Galaxien in wenigen Jahren erreichen kann.

Aber mit anderen Antrieben, wie dem Ionenantrieb könnte man doch durchaus eine konstante Beschleunigung erzeugen und die dafür notwendig Energie aus z.B. einem Atomreaktor gewinnen.

Auch ein Atomreaktor braucht Treibstoff. Da die Energiedichte aber wesentlich höher ist, kann man damit durchaus interstellare Raumschiffe bauen, ja. Pläne dafür gibt's durchaus bei der NASA in der Schublade, bloß ist sowohl Nuklearforschung als auch interstellares Reisen derzeit unpopulär. Für durchgehendes Beschleunigen mit 1g würde es aber auch bei weiten noch nicht reichen, es wäre bloß eine bessere chemische Rakete.

Daher müßte es doch möglich sein mit ein paar mg konstant zu Beschleunigen oder nimmt die Beschleunigung dann mit steigender Geschwindigkeit ab, weil die Masse ansteigt?

Vergiss diesen Quatsch mit steigender Masse bei steigender Geschwindigkeit. Die Rakete selber weiß ja nicht, wie schnell sie fliegt. Es gibt kein bevorzugtes Inertialsystem. Die Rakete funktioniert immer gleich, egal wie schnell sie sich von dir weg bewegt. Bloß was du dann siehst, hängt von der (von dir gesehenen) Geschwindigkeit der Rakete ab.

Ein paar Links, die dich interessieren sollten:
http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_rocket
http://en.wikipedia.org/wiki/Space_travel_using_constant_acceleration
http://en.wikipedia.org/wiki/Space_travel_using_constant_acceleration#A_Half_Myth:_It_gets_harder_to_push_a_ship_faster_as_it_gets_closer_to_the_speed_of_light
http://en.wikipedia.org/wiki/Project_Orion_(nuclear_propulsion)
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/rocket.html (mit ein paar Beispielsreisezeiten, unter anderem auch die 0.56 Lichtjahre)
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/Spaceship/spaceship.html