Winkelsumme von Schnittwinkeln Gerade, Koordiantenebenen

Harrinfinity

Hey Leute

Wir hatten in Mathematik (12. Klasse Gymnasium) gerade Schnittwinkel von Vektoren, Geraden, Ebenen etc. Dabei kam mir die Frage, welchen Zusammenhang es zwischen dem Richtungsvektor einer Gerade und der Summe aller drei Schnittwinkel mit den Koordinatenebenen gibt. Dass es überhaupt einen Zusammenhang gibt, nehme ich einfach an (Lehrer hat es auch bestätigt, ohne die Antwort zu wissen).

Meine erste Überlegung war, das ganze einfach mal mit Buchstaben zu machen:

sin(α)= (|n*u|)/(|n|+|u|)

Der Richtungsvektor u=(a/b/c)
sorry für falsche Darstellung, aber kein Plan wie das am PC richtig geht, nen Vektor darzustellen

Die Normalenvektorn der drei Ebenen n=(1/0/0); n=(0/1/0); n=(0/0/1)

Wenn man dies nun in die Formel einsetzt:

Ebene 1: sin(α)=|a|/sqrt(a²+b²+c²)

Ebene 2: sin(α)=|b|/sqrt(a²+b²+c²)

Ebene 3: sin(α)=|c|/sqrt(a²+b²+c²)

Wenn man den Richtungsvektor u so wählt, dass er die Länge 1 hat, bleibt als Winkelsumme

sin^-1(|a|)+sin^-1(|b|)+sin^-1(|c|)

Doch an dieser Stelle komm ich nicht mehr weiter, da ich nicht weiß, wie man den Sinus zusammenfassen kann. Oder ist das überhaupt der richtige Ansatz ?

Nachdem ich hier nicht weiter kam, hab ich es einfach mal mit Zahlen probiert. Wenn der Richtungsvektor parallel zu einer Achse ist, kommt als Winkelsumme 90° raus. Bei (1/1/1) als Richtungsvektor hingegen ~105°. Dementsprechend ist es nicht wie im zweidimensionalen, dass die Winkelsumme immer gleich ist.
Wirklich geholfen hat mir dies aber auch nicht, da die Wahrscheinlichkeit, durch schlichtes rumprobieren auf die Lösung zu kommen, in diesem Fall definitiv zu gering ist, als dass es sich lohnen würde.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen, würde mich wirklich interessieren.

Gruß
Sebastian

P.S.
Ich hoffe ich konnte mein Problem mit den begrenzten Darstellungsmöglichkeiten halbwegs verständlich rüberbringen. Wenn nicht kann ich auch noch ein Bild von meinem Aufschrieb nachreichen.

Bashar

Vielleicht hilft dir
$\arcsin a + \arcsin b = \arcsin\left ( a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2} \right)$ (gültig für $a^2 + b^2 \leq 1$ oder $ab\leq 0$ ) weiter.

dot

Wie genau sollen diese "Schnittwinkel" denn gemessen werden? Einfach nur der Winkel zwischen der Normale und der Richtung? Oder der Winkel zwischen der Ebene und der Richtung? Messen wir die Winkel frei im Raum oder messen wir die Winkel von Projektionen auf eine der Hauptebenen?

Harrinfinity

Bashar:
arcsin a + arcsin b + arcsin c = ?
Ich schaffs nicht ganz, das ganze auf drei Variablen umzustellen

dot:
es wird einfach der Winkel zwischen der Normale und der Richtung gemessen, da
arcsin ((|n\*u|)/(|n|\*|u|) dem Winkel zwischen der Richtung und deren Projektion auf die Ebene entspricht.

otze

Harrinfinity schrieb:

Bashar:
arcsin a + arcsin b + arcsin c = ?

= (arcsin a + arcsin b) + arcsin c

klingelts?

Bashar

Harrinfinity schrieb:

Bashar:
arcsin a + arcsin b + arcsin c = ?
Ich schaffs nicht ganz, das ganze auf drei Variablen umzustellen

Da musst du nichts umstellen, einfach einsetzen:

$\arcsin a + \arcsin b + \arcsin c = \arcsin\left ( a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2} \right) + \arcsin c$ . Jetzt steht wieder eine Summe von zwei Arkussinussen da. Die Voraussetzungen zu prüfen überlass ich dir, das rechnen auch. Hat ja keiner gesagt, dass was hübsches rauskommen soll

Ok, jetzt klingelts. Fast schon peinlich
Doch da ich das weder am Handy, noch im Kopf mache, muss es leider bis morgen warten.

Trotzdem schon mal vielen Dank. Ich werde euch dann morgen mit meinen Ergüssen Bereichen

Gn8