Beweisen, dass eine Funktion Bijektiv ist

[asfdwfwfef]

Hallo allerseits.

Hier die Aufgabenstellung:
Zeigen Sie oder widerlegen Sie, dass die folgenden Funktionen bijektiv sind.

f: Q² -> Q²,(x,y)|-> (x-y,x+2y-1)
g: Q² -> Q²,(x,y)|->(x-y+3,y-x-2)
Dies ist unser erster Beweis in diese Richtung. In der Vorlesung haben wir nur besprochen, was eine Bijektive Funktion ist, und als Aufgabe soll ich beweisen oder widerlegen, dass diese Funktionen bijektiv sind.
Ich habe aber nicht den leisesten Schimmer, wie ich das Problem angehen soll.
Google habe ich auch schon durchsucht, dort finde ich nur Beweise mit Hilfe von Surjektivität und Injektivität. Diese beiden Begriffe höre ich aber leider zum ersten Mal und wurden nicht in der Vorlesung behandelt.
Kann mir wer erklären, wie ich bei diesem Problem vorgehen soll?

Vielen Dank schonmal

[Namenloser324]

Bijektivität wurde ohne Injektivität und Surjektivität eingeführt?
Seltsam.
Nun, bijektiv ist eine Funktion genau dann, wenn jedem Bild genau ein Urbild zugeordnet ist. Die Zuordnung ist dann eindeutig und es existiert eine Umkehrfunktion.
Du musst also nachweisen oder widerlegen, dass jedem Paar (x,y) eindeutig (also kein anderes Paar (x',y') hat den selben Funktionswert) ein Funktionswert f(x,y) zugeordnet ist.
Zum Widerlegen reichen zwei Punkte mit dem selben Bild.
Vielleicht könntest du den Beweis der Bijektivität via Widerspruch bringen (ala "Angenommen es gäbe (x,y)!=(x',y') die verschieden sind mit f(x,y) = f(x',y'),dann...")

[asdasdasd]

Bijektivität wurde ohne Injektivität und Surjektivität eingeführt?

Ja, von surjektiv und injektiv hab ich noch nie was gehört.

Vielleicht könntest du den Beweis der Bijektivität via Widerspruch bringen (ala "Angenommen es gäbe (x,y)!=(x',y') die verschieden sind mit f(x,y) = f(x',y'),dann...")

Hmmm... die einzige Beweismethode, die ich bis jetzt gelernt habe, ist die vollständige Induktion.
Wäre es einfacher, den Beweis mittels Surjektivität und Injektivität zu zeigen?
Wenn ja, wie würde er aussehen (nur grob).

Vielen Dank

[Bashar]

asdasdasd schrieb:

Bijektivität wurde ohne Injektivität und Surjektivität eingeführt?

Ja, von surjektiv und injektiv hab ich noch nie was gehört.

Wie habt ihr Bijektivität definiert?

Hmmm... die einzige Beweismethode, die ich bis jetzt gelernt habe, ist die vollständige Induktion.

Das kann nicht sein. Ein Induktionsbeweis besteht immer aus zwei Teilbeweisen. Die musst du ja auch irgendwie führen. Wenn dir da immer nur Induktion einfällt, wirst du nicht so schnell fertig.

Außerdem sollte es irgendwie klar sein, dass die Behauptung keine Aussage über natürliche Zahlen ist. Wo willst du denn hier Induktion ansetzen?

Wäre es einfacher, den Beweis mittels Surjektivität und Injektivität zu zeigen?

Das einfachste wäre festzustellen, dass die Funktionen linear sind, und zu zeigen, dass ihre Abbildungsmatrizen invertierbar sind.(Sie sind nicht linear, wieder nicht richtig hingeguckt.)

Es hängt alles davon ab, was du zur Verfügung hast. Poste deine Definition und was auch immer relevant sein könnte.

[otze]

wie ist denn deine Vermutung? Sind die beiden Funktionen bijektiv?

[asasasasas]

Hallo Bashar und otze.

Wie habt ihr Bijektivität definiert?

Eine Funktion $f: M->N$ heißt bijektiv, wenn jedes Element von N genau ein Urbild hat. Genau diese Definition steht im Skript. Snst steht nicht mehr drinnen.
Wir haben bijektive Funktionen eingeführt, um mit ihnen das Rechnen mit Summen und Produkten zu ermöglichen.

Das kann nicht sein. Ein Induktionsbeweis besteht immer aus zwei Teilbeweisen.

JJa das stimmt, aber wir haben bis jetzt auch nur Sachen bewiesen, die ganzzahlig sind. (Summensätze, Ungleichungen,...)

Das einfachste wäre festzustellen, dass die Funktionen linear sind, und zu zeigen, dass ihre Abbildungsmatrizen invertierbar sind.

Es hängt alles davon ab, was du zur Verfügung hast. Poste deine Definition und was auch immer relevant sein könnte.

Ich weiß gerade nichts, was mir bei diesem Problem helfen könnte. Matrizenrechnen kann ich und wie man die Inverse Matrix berechnet auch

wie ist denn deine Vermutung? Sind die beiden Funktionen bijektiv?

tut mir leid, ich habe wirklich keine Ahnung. Aus dem Bauch heraus würde ich sagen die erste.

[otze]

Tipp: eine Funktion ist genau dann bijektiv, wnen sie eine Umkehrfunktion hat.

[Bashar]

asasasasas schrieb:

Wie habt ihr Bijektivität definiert?

Eine Funktion $f: M\to N$ heißt bijektiv, wenn jedes Element von N genau ein Urbild hat. Genau diese Definition steht im Skript. Snst steht nicht mehr drinnen.

Die ist perfekt für die Aufgabe geeignet.

Du nimmst dir ein Element des Bildbereiches, $(a, b)\in\mathbb{Q}^2$, und schaust dir die Gleichung $f(x, y) = (a, b)$ an. Ist diese lösbar, und falls ja, ist die Lösung eindeutig? Wenn du das ausführlich hinschreibst, ist das ein lineares Gleichungssystem, du kannst also was dazu sagen. Was sagt das jetzt über die Existenz und Eindeutigkeit eines Urbildes für (a,b) aus?

(Ich hab mir mal erlaubt, dein Latex zu verbessern.)