4. Adiabatische Expansion

Adiabatische Expansion

  • ?

    Hey, vorweg, ich hasse Thermodynamik.

    Ich will ausgehend vom Zustand (p_1,V_1,T1)(p\_1, V\_1, T_1) den Zustand (p_2,V_2,T2)(p\_2, V\_2, T_2) nach der adiabatischen Expansion eines idealen Gases ausrechnen. Neben dem Anfangszustand soll mir außerdem bekannt sein: α=V_2V_1\alpha = \frac{V\_2}{V\_1}

    Der Vorgang ist adiabatisch, also ΔQ=0\Delta Q = 0. Die Änderung der inneren Energie ist:
    ΔU=32Nk∫T_1T_2dT=32Nk(T_2−T_1)⇒T_2=2ΔU3Nk−T_1\Delta U = \frac{3}{2}Nk\int\limits_{T\_1}^{T\_2}dT = \frac{3}{2}Nk(T\_2-T\_1) \Rightarrow T\_2 = \frac{2\Delta U}{3Nk} - T\_1
    Okay, jetzt weiß ich aber nach dem ersten Hauptsatz auch, dass
    ΔU=ΔW=−∫V_1V_2pdV\Delta U = \Delta W = -\int\limits_{V\_1}^{V\_2}pdV
    und da der Vorgang adiabatisch ist zusätzlich:
    pV52=const=:c⇒ΔW=−∫V_1V_2cV−52dV=23c(V_2−32−V_1−32)=23cV1−32(α−32−1)pV^{\frac{5}{2}}=const =: c \Rightarrow \Delta W = -\int\limits_{V\_1}^{V\_2} cV^{-\frac{5}{2}}dV = \frac{2}{3} c(V\_2^{-\frac{3}{2}} - V\_1^{-\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} cV_1^{-\frac{3}{2}}(\alpha^{-\frac{3}{2}} - 1)

    Jetzt setze ich das in meinen Ausdruck für T2T_2 ein:
    T_2=49cV_1−32(α−32−1)Nk−T1T\_2 = \frac{4}{9}\frac{cV\_1^{-\frac{3}{2}}(\alpha^{-\frac{3}{2}}-1)}{Nk} - T_1
    Ferner weiß ich, dass c=p_1V_152c = p\_1V\_1^{\frac{5}{2}}
    Setze ich das ein, erhalte ich dann:
    T_2=49p_1V_1(α−32−1)Nk−T_1T\_2 = \frac{4}{9}\frac{p\_1 V\_1(\alpha^{-\frac{3}{2}}-1)}{Nk} - T\_1
    Aus der idealen Gasgleichung weiß ich, dass T_1=p_1V1NkT\_1 = \frac{p\_1V_1}{Nk}, also erhalte ich schließlich:
    T_2=49T_1(α−32−1)T\_2 = \frac{4}{9}T\_1(\alpha^{-\frac{3}{2}}-1)

    Hm. Das sieht schon komisch aus. Was habe ich falsch gemacht, denn auf Wikipedia finde ich im Artikel zum Otto-Prozess: T_2=T_1ϵκ−1T\_2 = T\_1 \epsilon^{\kappa - 1}, wobei das ϵ=α−1\epsilon = \alpha^{-1} und κ−1=32\kappa - 1 = \frac{3}{2}. Okay, da steht zwar isentrop, aber die Rechnung sollte, sofern sie richtig ist, ja auch für reversibel adiabatische (und damit isentrope) Expansion gelten.

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  • J

    Rechenfehler:
    ΔU=32Nk∫T_1T_2dT=32Nk(T_2−T_1)⇒T_2=2ΔU3Nk+T_1\Delta U = \frac{3}{2}Nk\int\limits_{T\_1}^{T\_2}dT = \frac{3}{2}Nk(T\_2-T\_1) \Rightarrow T\_2 = \frac{2\Delta U}{3Nk} + T\_1

    Noch ein Fehler:
    ΔW=−∫V_1V_2cV−52dV=32c(V_2−23−V_1−23)=32cV1−23(α−23−1)\Delta W = -\int\limits_{V\_1}^{V\_2} cV^{-\frac{5}{2}}dV = \frac{3}{2} c(V\_2^{-\frac{2}{3}} - V\_1^{-\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2} cV_1^{-\frac{2}{3}}(\alpha^{-\frac{2}{3}} - 1)

    Wenn du das jetzt einsetzt, bekommst du das richtige Ergebnis, also T_2=α−23T_1T\_2 = \alpha^{-\frac{2}{3}}T\_1.

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  • ?

    Hallo,

    Genau das habe ich gesucht. Ich habe auch Probleme mit der Thermodynamik und das Rechenbeispiel hat mir nun extrem weitergeholfen. Das Ergebnis passt nun auch. Danke.

    Grüße

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