Ungleichmäßige Beschleunigung

Gut, das ist sogar mir klar!
Wie schreibe ich das aber als Gleichung?
Ich habe: a(r) = mG/r² wie fummele ich da ein t rein?

a(r) = mG/r² -> a(t) = mG/r²(t)
?

liest du eigentlich, was dir gesagt wird?

du sollst eine differentialgleichung aufstellen.
du hast a(r) = mG/r2 und a = d^2r/dt2. beides zusammen führt zur gleichung:
r'' = mG/r²

lolalter schrieb:

liest du eigentlich, was dir gesagt wird?

Nein. I.d.R. höre ich, wenn jemand zu mir spricht. Bist du eher der Lippenleser-Typ?
Fein, ich gehe von der Gleichung r'' = mG/r² aus:

r' = v(t) = ∫ mG/r² dt = -mG/r² $\cdot$ t + C₁
r = s(t) = ∫ -mG/r² $\cdot$ t + C₁ = -mG/r² $\cdot$ t²/2 + C₁ $\cdot$ t + C₂ =
r = s(t) = -mG/r² $\cdot$ t²/2 + v₀ $\cdot$ t + r₀

Ist das so richtig?

dot

zubloed schrieb:

Ist das so richtig?

Nope, r ist abhängig von t...

Jepp. Das ist ja mein Ursprungsproblem.
a(r) = mG/r²
a(t) = mG/r²(t)

Wie bekomme ich die Funktion für r(t) ? Durch die DGL?
a(t) = mG/r²(t) = d²r/dt²
?

dot

zubloed schrieb:

Wie bekomme ich die Funktion für r(t) ?

Indem du die Differentialgleichung löst...

a(t) = mG/r²(t) = d²r/dt²
mG/r²(t) = d²r/dt²

Kann ich das so umschreiben wie unten?

r²(t) = y(t) = y
d²r/dt² = y''(t) = y''

mG = r²(t) $\cdot$ d²r/dt²
mG = y $\cdot$ y''

Dann bräuchte ich "nur" noch zu wissen, wie man so eine spezielle DGL lösen tut ...
Gibts da irgendwo Schema-F Anleitungen? Zu genau diesem Typ von DGL?

nein. kettenregel und so:

y(t) = r²(t)
y'(t) = 2*r(t)*r'(t)

ich wollte damit nicht ausdrücken, dass dir das weiterhilft. es ist nur eine begründung warum deine substitution falsch ist.

asdyxcqwe schrieb:

ich wollte damit nicht ausdrücken, dass dir das weiterhilft. es ist nur eine begründung warum deine substitution falsch ist.

achso. schade.
mG/r²(t) = d²r/dt²

hmm...dann könnte ich vermutlich schreiben:

y = y(t) = r(t)
y² = y²(t) = r²(t)
y'' = d²r/dt²

y² $\cdot$ y'' = mG

besser? gut?

zubloed schrieb:

Gibts da irgendwo Schema-F Anleitungen? Zu genau diesem Typ von DGL?

Nö. Ist das eine Übungsaufgabe?
Eine exakte Lösung dürfte sehr schwer herzuleiten sein. Selbst Wolfram-Alpha schafft es nicht wegen Timeout in der freien Version.

Ansonsten numerisch lösen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(x)+%3D+m*G*1%2F+y²(x)

dot

Du kannst eine gewöhnliche DGL höherer Ordnung in ein System aus mehreren gewöhnlichen DGL erster Ordnung umschreiben:

\begin{equation*} a = \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{mG}{r^2} \end{equation*}

lässt sich auch schreiben als ein System zweier gewöhnlicher DGL erster Ordnung:

\begin{align*} r' &= v \\ v' &= \frac{mG}{r^2} = a \end{align*}

qwedgert schrieb:

zubloed schrieb:

Gibts da irgendwo Schema-F Anleitungen? Zu genau diesem Typ von DGL?

Nö. Ist das eine Übungsaufgabe?
Eine exakte Lösung dürfte sehr schwer herzuleiten sein. Selbst Wolfram-Alpha schafft es nicht wegen Timeout in der freien Version.

Ansonsten numerisch lösen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(x)+%3D+m*G*1%2F+y²(x)

ups, falsch eingegeben.
hier ist die lösung
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''(x)+%3D+m*G*1%2F(y(x))^2

den link hat's gekostet. boah ich sollte früher ins bett.

egal die lösung dort war sowieso nur implizit. ich denke mir numerischen methoden fährst du besser.

dot schrieb:

Du kannst eine gewöhnliche DGL höherer Ordnung in ein System aus mehreren gewöhnlichen DGL erster Ordnung umschreiben:
\begin{equation*} a = \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{mG}{r^2} \end{equation*}
lässt sich auch schreiben als ein System zweier gewöhnlicher DGL erster Ordnung:
\begin{align*} r' &= v \\ v' &= \frac{mG}{r^2} = a \end{align*}

Ja, so kann man das schreiben aber wie bringt mich das weiter?

qwedgert schrieb:

den link hat's gekostet. boah ich sollte früher ins bett.

egal die lösung dort war sowieso nur implizit. ich denke mir numerischen methoden fährst du besser.

Das hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=DSolve[(y[x])^2++y%27%27[x]+%3D+mG%2C+y[x]%2C+x] könnte ne Lösung sein?

Kann ich aber nicht wirklich viel mit anfangen
Wie geht das numerisch?
Mich interessieren beide Lösungswege, aber sehr im dunklen ich noch tappen tu...

zubloed schrieb:

Das hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=DSolve[(y[x])^2++y%27%27[x]+%3D+mG%2C+y[x]%2C+x] könnte ne Lösung sein?

Ja das ist die implizite Lösung. Nutzlos für die Praxis.

zubloed schrieb:

Kann ich aber nicht wirklich viel mit anfangen
Wie geht das numerisch?
Mich interessieren beide Lösungswege, aber sehr im dunklen ich noch tappen tu...

Zeit für google. Du hast alle Stichwörter zusammen, also warum suchst Du nicht?

dot

Vielleicht auch noch ein anderer Link für dich: http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem

qwedgert schrieb:

Zeit für google. Du hast alle Stichwörter zusammen, also warum suchst Du nicht?

Tu ich doch! Ich überlege und suche nach fertigen Beispielen...

qwedgert schrieb:

Ist das eine Übungsaufgabe?

Nö, das ist eher ein Gedankenexperiment, was passiert, wenn man zwei Körper im Abstand r sich selbst überlässt. Gesucht ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Zusammempralls und die Geschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit könnte ich ja so berechnen, wie von Mr.Fister vorgeschlagen, wenn ich das richtig umgesetzt habe:

W = G $\cdot$ m $\cdot$ M(1/r) = 1/2 m $\cdot$ v²
$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

r ist gegeben, v lässt sich berechnen.
r und v mit konkreten Zahlenwerten wären dann die Randbedingungen.
Soweit ok? Ich versuche das mal mit den Randbedingungen bei Wolfram|Alpha einzugeben, mal sehen ob ich das hinbekomme, kann sich nur um Stunden handeln ...
Eine fertige Formel für die benötigte Zeit habe ich aber auch noch nicht gefunden, gibt es die?

zubloed schrieb:

Gesucht ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Zusammempralls und die Geschwindigkeit.

Hahaha so weit ist das schon ... also die benötigte Zeit wird noch gesucht ...