Ungleichmäßige Beschleunigung

dot schrieb:

Du kannst eine gewöhnliche DGL höherer Ordnung in ein System aus mehreren gewöhnlichen DGL erster Ordnung umschreiben:
\begin{equation*} a = \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{mG}{r^2} \end{equation*}
lässt sich auch schreiben als ein System zweier gewöhnlicher DGL erster Ordnung:
\begin{align*} r' &= v \\ v' &= \frac{mG}{r^2} = a \end{align*}

Ja, so kann man das schreiben aber wie bringt mich das weiter?

qwedgert schrieb:

den link hat's gekostet. boah ich sollte früher ins bett.

egal die lösung dort war sowieso nur implizit. ich denke mir numerischen methoden fährst du besser.

Das hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=DSolve[(y[x])^2++y%27%27[x]+%3D+mG%2C+y[x]%2C+x] könnte ne Lösung sein?

Kann ich aber nicht wirklich viel mit anfangen
Wie geht das numerisch?
Mich interessieren beide Lösungswege, aber sehr im dunklen ich noch tappen tu...

zubloed schrieb:

Das hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=DSolve[(y[x])^2++y%27%27[x]+%3D+mG%2C+y[x]%2C+x] könnte ne Lösung sein?

Ja das ist die implizite Lösung. Nutzlos für die Praxis.

zubloed schrieb:

Kann ich aber nicht wirklich viel mit anfangen
Wie geht das numerisch?
Mich interessieren beide Lösungswege, aber sehr im dunklen ich noch tappen tu...

Zeit für google. Du hast alle Stichwörter zusammen, also warum suchst Du nicht?

dot

Vielleicht auch noch ein anderer Link für dich: http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem

qwedgert schrieb:

Zeit für google. Du hast alle Stichwörter zusammen, also warum suchst Du nicht?

Tu ich doch! Ich überlege und suche nach fertigen Beispielen...

qwedgert schrieb:

Ist das eine Übungsaufgabe?

Nö, das ist eher ein Gedankenexperiment, was passiert, wenn man zwei Körper im Abstand r sich selbst überlässt. Gesucht ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Zusammempralls und die Geschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit könnte ich ja so berechnen, wie von Mr.Fister vorgeschlagen, wenn ich das richtig umgesetzt habe:

W = G $\cdot$ m $\cdot$ M(1/r) = 1/2 m $\cdot$ v²
$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

r ist gegeben, v lässt sich berechnen.
r und v mit konkreten Zahlenwerten wären dann die Randbedingungen.
Soweit ok? Ich versuche das mal mit den Randbedingungen bei Wolfram|Alpha einzugeben, mal sehen ob ich das hinbekomme, kann sich nur um Stunden handeln ...
Eine fertige Formel für die benötigte Zeit habe ich aber auch noch nicht gefunden, gibt es die?

zubloed schrieb:

Gesucht ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Zusammempralls und die Geschwindigkeit.

Hahaha so weit ist das schon ... also die benötigte Zeit wird noch gesucht ...

Nicht geschafft

W = G $\cdot$ m $\cdot$ M(1/r) = 1/2 m $\cdot$ v²
$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$
r = 10m
m = 100kg

v = \sqrt{\frac{2\cdot 6.67384\cdot10^{-11} \cdot 100}{10}} \\ v = 3.653\cdot10^{-4} m/s

.oO ziemlich langsam ...
Wie kann ich die benötigte Zeit t ausrechnen?

zubloed schrieb:

Nicht geschafft

W = G $\cdot$ m $\cdot$ M(1/r) = 1/2 m $\cdot$ v²
$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$
r = 10m
m = 100kg
v = \sqrt{\frac{2\cdot 6.67384\cdot10^{-11} \cdot 100}{10}} \\ v = 3.653\cdot10^{-4} m/s
.oO ziemlich langsam ...
Wie kann ich die benötigte Zeit t ausrechnen?

Das was du da hast ist die Höchstgesswindighkeit
Die Zeit wird also deutlich über t = s/v = 10m/ 3.653*E-4m/s =
27374,760 sekunden liegen.

Daniel E.

zubloed schrieb:

Wie kann ich die benötigte Zeit t ausrechnen?

Schnapp dir doch endlich mal eine Matheprogramm oder eine Programmiersprache mit Mathe-Lib und löse die DGL numerisch auf und male dir die Bahnen hin.

r^2*r'' = const

Dann wirst Du feststellen, wenn Du ein bißchen mit der Konstante spielst, dass Du auf drei verschiedene Lösungen kommen wirst. Man kann das auch analytisch charakterisieren (die Schlagworte sind alle schon gefallen) und Du bekommst, parabolische, hyperbolische und elliptische Lösungen.

Was Du hier vermutlich suchst, ist die parabolische Lösung dieser Gleichung (wo die Körper ineinander "reinfallen"), die ist, aus dem Kopf, t=k sqrt(r)^3, jedenfalls wenn man den Körper am Anfang beliebig weit weg tut und die Startgeschwindigkeit 0 ist.

Das lernt man, wie gesagt, recht ausführlich in den ersten Semestern in jedem technisch-mathematischen Studiengang.

So zum rumspielen würde ich mir Octave oder Python installieren, mir einen Solver (ode45, etc) hernehmen und mir ein Haufen Bilder plotten lassen, damit Du ein Gefühl für die Sache bekommst.

Ich hab auch eben kurz rumgegoogelt, http://www.math24.net/law-of-universal-gravitation.html hat mal einiges für dich schon mal vorgerechnet.

Daniel E. schrieb:

Das lernt man, wie gesagt, recht ausführlich in den ersten Semestern in jedem technisch-mathematischen Studiengang.

Ja, super. Ich habe aber so einen Studiengang leider nicht absolviert.

Ich habe Python installiert. Wie bekomme ich da ode45 rein?
https://pypi.python.org/pypi?%3Aaction=search&term=ode45&submit=search

.oO über python und ode45 gibt es kaum infos im web.
ich probere es mal lieber mit Octave ...

octave ist ja noch doofer, das geht ja gar nicht unter Windows

Daniel E.

zubloed schrieb:

.oO über python und ode45 gibt es kaum infos im web.

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/integrate.html
http://www.youtube.com/watch?v=j83zdIDF8SQ
...

Ich meine, was sind deine Grundlagen? Welches Mathe-Level hast Du, was genau willst Du erreichen, mit welchen Tools kennst Du dich aus, usw? Wenn Du das verrätst, vielleicht kann man dir auch so helfen, dass es dir was nützt ...

Mein Mathe-Level, meine Grundlagen, naja ... lange ist es her .. E-Technik Studium an einer Fachhochschule. Da gab es Bachelor und Master noch gar nicht.
Differentialgleichungen kamen vor, aber daran erinnere ich mich nur noch dunkel...
Ich installiere gerade WinPython, da ist angeblich das scipy Paket schon drin. Bin gespannt ...

Achso, mit welchen Tools ich mich auskenne, mit gar keinen. Habe etwas in WxMaxima reingeschnuppert.
Was ich erreichen will ist erstmal diese Aufgabe lösen und dann ein bisschen weiter experimentieren ...