LR-Zerlegung

Hallo, sitze gerade vor einer Aufgabe welche ich nicht nachvollziehen kann.

1  2  3
A= -2  3  0
    3 -1 -1

Wieso, bzw. wie erkenne ich das ich dafür eine Inverse Matrix brauche?

Also

(1)       (2)       (3)
     =====     =====     ======= 

     1 0 0     1 0 0     1  2  3
A = -2 1 0  *  2 1 0  * -2  3  0
     3 0 1    -3 0 1     3 -1 -1

Also die 2-Matrix ist klar, das sind die Operationen damit ich die erste Spalte nulle....
ABer die 1-Matrix?? Wie erkenne ich das ich hier die Inverse brauche?

DKlay13 schrieb:

ABer die 1-Matrix?? Wie erkenne ich das ich hier die Inverse brauche?

Sei die (2)-Matrix P, dann ist

$A = I \cdot A = ( P^{-1} \cdot P ) \cdot A = P^{-1} \cdot (P \cdot A)$

wobei P invertierbar ist. Habe ich die Frage so richtig verstanden?

Nein, tut mir leid wahrscheinlich habe ich mich falsch ausgedrückt...

Ich denke das P steht für Permutationsmatrix, aber die ist ja nicht notwendig.

Aber: A = LR, R zu berechnen ist einfach, aber wieso werden die Rechenoperationen in der L-Matrix *(-1) gewandelt?

Frage: Macht man die einfach *(-1) oder kann man die irgendwie berechnen?

DKlay13 schrieb:

Ich denke das P steht für Permutationsmatrix, aber die ist ja nicht notwendig.

Aber: A = LR, R zu berechnen ist einfach, aber wieso werden die Rechenoperationen in der L-Matrix *(-1) gewandelt?

Frage: Macht man die einfach *(-1) oder kann man die irgendwie berechnen?

Das P sollte einfach die (2)-Matrix sein, also keine Permutationsmatrix; nennen wir sie mal F mit A = F^(-1)*F*A. Die Matrix F ist eine Frobeniusmatrix

https://de.wikipedia.org/wiki/Frobeniusmatrix

mit der netten Eigenschaft, dass die Inverse ganz leicht berechnet werden kann. Man vertauscht einfach die Vorzeichen der Nichtdiagonalelemente (siehe Wikipedia). Das ist nicht dasselbe wie F*(-1)! Ein Schritt der LR-Zerlegung ist dann

$A = (F^{-1} \cdot F) \cdot A = F^{-1} \cdot ( F \cdot A)$

und hier ist F nicht die L-Matrix, da du ja nur den ersten Schritt berechnet hast. Für den nächsten Schritt berechnest du $F_2$ für $(F_1 A)$ usw.:

$A = (F\_1^{-1} F\_2^{-1} \cdots F\_n^{-1})( F\_n \cdots F\_2 F\_1 A)$

Die linke Klammer ist L, die rechte Klammer ist R. Beachte, dass man umklammern kann, so dass sich die "inneren" Produkte wegheben:

$(F\_1^{-1} \cdots (F\_n^{-1} \cdot F\_n) \cdots F\_1) = I$

und damit gilt A = L*R.