Probleme mit (totalen) Differentialen

Ich habe massive Probleme damit, mir über die Bedeutung verschiedener Differentiale oder Schreibweisen klar zu werden.

Beispiele, denen ich leider immer wieder begegne:

$g \; dy + h \; dx = 0$

$\dfrac{d}{dx} S(x, y(x)) = \dfrac{\partial S}{\partial x} (x,y(x)) + \dfrac{\partial S}{\partial y} (x,y(x)) \cdot y\prime (x)$

Das ganze sieht extrem nach totalem Differential aus, jedoch wie habe ich
dann $\dfrac{dS}{dx}$ zu verstehen?

Das sieht eher nach einer normalen Ableitung nach x aus, ist das dann eine Kettenregel?

SeppJ

Das ist die totale Ableitung (total derivative). Der Unterschied zur partiellen Ableitung ist, dass man hier auch die x-Abhängigkeit von y beachtet. Und ja, da wird die Kettenregel benutzt. Der Zusammenhang zum totalen Differential und weitere Eigenschaften werden auf der Wikipediaseite zu dem Stichwort erklärt.