Integration durch Substitution

Die letzte Umformung ist natürlich Grütze... da muss x noch nur g^-1 = φ geschliffen werden...

Also egal ob ich nun in die Formel da oben einsetze, wie auf Wiki mit den Differentialen herumspiele oder manuell auf die angegebene Grundform erweitere, es kommen immer die gleichen Faktoren, Grenzen und Ergebnisse heraus. Ich mach hier also immer das gleiche nur ich seh's einfach nicht... So traurig, dass es schon fast wieder zum Lachen ist... Ich glaube es bahnt sich demnächst eine größere Erkenntnis an

Jodocus

Ich bin mir nicht so sicher, was dein Problem ist. Stören dich die unmathematischen Differentialumformungen? Etwas sauberer wäre das Wikipedia-Beispiel $\int\limits_0^a sin(2x) dx$ also so:

Substitution: $\int\limits\_a^b \phi'(x)f(\phi(x)) dx = \int\limits\_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(y) dy$

Wir identifizieren die Komposition zweier Funktionen, die wir leicht integrieren können, also sallop $f(x) = sin(x)$ und $\phi(x) = 2x$ , stellen aber fest, dass im Integral der Faktor aus der Ableitung (hier 2) ist fehlt und fügen ihn deshalb einfach dazu (das ist natürlich nur dann möglich, wenn der Faktor explizit nicht von der Integrationsvariable abhängt, also nur eine Konstante ist. Dann wird das Integral dank seiner Linearität nicht beeinflusst, andernfalls hätten wir ein anderes Integral, das wir garnicht berechnen wollten (*)).
Insbesondere ist nach der obigen Indentifikation $\phi'(x)f(\phi(x)) = 2sin(2x)$ , wir müssen also noch durch 2 teilen, damit wir den gleichen Ausdruck wie in unserem Problem haben und können nun substituieren: $\frac{1}{2}\int\limits\_0^a 2sin(2x) dx = \frac{1}{2}\int\limits\_0^{2a} sin(u)du = \ldots$ etc. pp.
Anderes Beispiel:
$\int\limits_1^2 5x^4\sqrt{x^5-1}dx$ . Das Integral lässt sich bereits wunderbar in der Subsitutionsform indentifizieren, wobei $u(x)=x^5+1$ , $f(x) = \sqrt{x}$ und somit $5x^4\sqrt{x^5+1} = u'(x)f(u(x))$ .

(*) Beispiel: $\int e^{x^2} dx$ , mit $u(x)=x^2$ folgt $u'(x) = 2x = 2|\sqrt{u}|$ , aber die resultierende Form des Substitutions-Integrals $\int 2|\sqrt{u}|e^u du$ ergibt nicht im geringsten das Integral, das wir vorher suchen wollten; es kann nicht in der Substitutionsform dargestellt werden und muss anderweitig gefunden werden (Transformationssatz in 2D).

Edit: Das invertieren des Differenzialquotienten, was oft beim substituieren gemacht wird, resultiert ja (im Falle des Erfolgs), dass sich Teile im Integranden mit der inversen Ableitung kürzen; das ist prinzipiell das gleiche wie das Identifizieren der Ableitung der inneren Funktion und das "weglassen" derer im substituierten Integranden.

Hallo Jodocus,

vielen Dank, dass Du Dir die Zeit genommen hast.
Ich habe zunächst ein Anschauungsproblem gehabt.

Wenn wir beispielsweise das folgende Integral berechnen wollen:
$\int_a^b sin(2x) \mathrm{d}x$
dann kann man es entweder als die Rechte Seite des Integralsatzes auffassen (mit f = (sin o 2)(x), wobei 2 die Funktion bezeichnet die eben die Argumente verdoppelt) oder durch "kluge" Erweiterung auf die linke Seite des Integralsatzes bringen. Wenn man es als die rechte Seite auffasst (was ich irgendwie bislang immer getan habe, dann kann man "meine" Umformung verwenden, um direkt das Integral auf die linke umzuformen, braucht aber die Umkehrfunktion bzw. deren Ableitung). Allerdings scheint es so, dass im Lehrmaterial immer "in der linken Seite" gedacht wird.

Kurze Gegenüberstellung der beiden Ansätze:
Rechts nach links, mit φ = (2)^-1 um (2) aus dem Integranden zu bekommen:
$\int\_a^b sin(2x) \mathrm{d}x = \int\_a^b (sin \circ 2)(x) \mathrm{d}x = \int_{(2)(a)}^{(2)(b)} sin(x) \frac{\mathrm{d}(2)^{-1}}{\mathrm{d}x}(x) \mathrm{d}x$
Links nach rechts, mit kluger Erweiterung:
$\int\_a^b sin(2x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\int\_a^b 2sin(2x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \int_{(2)(a)}^{(2)(b)} sin(x) \mathrm{d}x$

Man sieht sofort, dass beide auf das gleiche Ergebnis kommen, aber ich bin noch nicht vollends davon überzeugt, dass beide "gleichwertig" sind, weil ich bei der Rechts-nach-links-Variante ja auf jeden Fall Umkehrbarkeit benötige, bei der links-nach-rechts-Variante weiß ich nicht, ob nicht die nötige Erweiterung auch eigentlich die Umkehrbarkeit nur etwas verkappt darstellt...

Okay, das war jetzt erstmal mein erstes Problem, ich hatte nicht "links nach rechts" gedacht.

Aber mein viel schwerwiegenderes Problem ist, wie man von der Integralgleichung auf die Technik der Substitution kommt, beziehungsweise, was da eigentlich der Zusammenhang ist.
Also warum ergibt sich aus der Integralgleichung folgende Substitutionstechnik, die scheinbar ja immer funktioniert:
$\text{Setze }u := 2x \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} := 2 \Leftrightarrow \mathrm{dx} = \frac{1}{2}du \Rightarrow \int\_a^b sin(2x) \mathrm{d}x = \int\_{2a}^{2b} sin(u) \frac{1}{2} du$
Man kommt offensichtlich wieder auf das gleiche Ergebnis, aber ich erkenne einfach nicht den Zusammenhang mit der Integralgleichung, der mir sagen würde, warum die Substitution, Auflösung der Differentiale und gleichzeitige Veränderung der Integralgrenzen eben genau das bewirkt, was ich haben wollte...

Ich weiß nicht, wie ich mein Verständnisproblem irgendwie noch erklären könnte... ist ja immer schwer falsche Gedanken zu erklären ;).

Dein Edit lese ich erst jetzt, ich glaube das trifft den Kern meiner Frage. Ich lasse mir das mal durch den Kopf gehen.

Ja, hrmmm, trübe kommt mir der Gedanke, dass die Differential-Technik im Grunde genau das macht, was ich in der Herleitung des Rechts-Nach-Links-Taktik formalisiert habe, kann das sein? Also im Prinzip erhält man die Ableitung der Umkehrfunktion.

Wobei sich mir dann die Frage stellt, ob man, wenn das Ursprungs-Integral nicht exakt die Form der linken Seite der Integralgleichung besitzt, nicht zwingend die Umkehrbarkeit der Substitutionsfunktion braucht, um das Integral zu vereinfachen. Hrmmm.

Jodocus

Der benutze Formalismus von dir ist merkwürdig und ganz nachvollziehen kann ich ihn nicht.

Was meinst du mit "Rechts nach Links"? Meinst du rückwärts substituieren? Das geht natürlich auch, als Beispiel mit: $\int\sqrt{1-u^2}du$ . Da wir schlau sind und wissen, dass $sin^2(x)+cos^2(x) = 1$ , können wir hierbei so tun, alsob hier schon "etwas substituiertes" steht, wir identifizieren die "bereits durchgeführte" Substitution mit $u(x) = cos(x) \Rightarrow u'(x) = -sin(x)$ , das Integral sieht zurücksubstituiert also so aus: $\int -sin(x)\sqrt{1-cos^2(x)}dx = -\int sin^2(x)dx$ , und das lässt sich dann schön ausintegrieren.
Das mit den Differenzialen ist keine Magie (und wie man sieht auch nicht nötig, um substituieren zu können), letztenendes ist es eine Eselsbrücke, die einem das "scharfe hinsehen" erleichtert/erspart: wenn man dabei nicht kürzen kann, dann konnte man das Integral wohl nicht durch Substitution darstellen.

Okay,
also mal die Umformung der Differentiale formalisiert:
$u := \varphi(x): \frac{du}{dx} = \frac{du}{dx} \Leftrightarrow dx = \frac{dx}{du}du$
So jetzt könnte man für u φ substituieren, zum Beispiel 2x aus dem Beispiel da oben, also erhält 1/2 * dx/dx * du. Oder aber man interpretiert dx/du... Weil u eine Funktion von x ist muss irgendwie daraus folgen, dass dx/du die Ableitung der Umkehrfunktion von u=φ(x) ist... Ich weiß nur noch nicht so ganz, wie ich darauf komme das dem wirklich so ist, außer durch "Vergleich" mit der Rechts-nach-Links-Formel... Mit Differentialen habe ich es echt nicht so, ich finde das kreative Rechnen damit etwas suspekt.

Während des Schreibens kam Deine Nachfrage:
Was meine ich mit "Rechts nach Links":
Wir haben die Integralgleichung
$\int\_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x = \int\_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm{d}x (1)$
Im Falle, dass φ umkehrbar ist, können wir das also umstellen:
$\int\_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int\_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x (2)$

Und jetzt wollen wir das Integral $\int_a^b sin(2x) \mathrm{d}x$ lösen. Dieses Integral können wir ja entweder als die rechte Seite von (1) (bezihungsweise linke Seite von (2)) interpretieren, oder versuchen, es geeignet auf die Form der linken Seite von (1) zu bringen.
Die Rechts-Nach-Links-Taktik ist nun die, es als die rechte Seite von (1) aufzufassen. Dann wissen wir, dass f = (sin o 2) ist, und weil wir ja ein φ hinzufügen, wenn wir auf die linke Seite der Gleichung gehen, wählen wir φ = (2)^-1, sodass f(φ(x)) = (f o (2) o (2)^-1)(x) = f(x) ist.
Formalisieren wir (2) nach dieser Taktik, erhalten wir, wie im OP:
$\int\_a^b (f \circ g)(x) \mathrm{d}x = \int\_{g(a)}^{g(b)} f(x) \frac{\mathrm{d}g^-1}{\mathrm{d}x}dx$
Das ist die voll formulierte Rechts-Nach-Links-Taktik.

Und dieses d(g^-1)/dx das da steht, das meinem jetzigen Verständnis nach genau dem dx/du in der Differential-Technik, oder nicht?

Hrmm, mir fällt gerade auf, die Rechts-Nach-Links-Taktik ist zwar schön und gut, aber sie überdeckt sich nur fallweise mit der Links-Nach-Rechts-Taktik und ist ziemlich speziell in der Annahme einer reinen Verkettung.

Im Allgemeinen haben wir ja den Fall
$\int\_a^b f(x)g(h(x)) \mathrm{d}x = \int\_a^b \frac{f(x)}{h'(x)}h'(x)g(h(x))\mathrm{d}x = c\int_{h(a)}^{h(b)}f(x)\mathrm{d}x$
Natürlich nur, wenn f(x)/h'(x) = c nicht mehr von x abhängt - dann haben wir gewonnen. Also berechnet die Differentialtaktik in Wahrheit 1/h'(x), kann das sein? Und im Falle dass f(x) = 1 und h'(x) = c ist, entsprechen sich Links-Nach-Rechts und Rechts-Nach-Links.
Mannmannmannmann, warum sehe ich das auf diese Weise jetzt erst?

Das heißt, die Links-Nach-Rechts-Taktik funktioniert, wenn f(x)/h'(x) = c und die Rechts-Nach-Links-Taktik funktioniert für jedes umkehrbare φ im Falle dass f(x) = c. Komplett verschiedene Voraussetzungen *ditsch*