Mathe-Verständnis trainieren
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otze schrieb:
Jester schrieb:
Tut mir leid, aber zu mehr konnte ich mich nicht durchringen. Das ganze ist einfach zu absurd.
Dann müsste es ja ein simples Argument geben.
Die Behauptung, dass man aus Logikrätseln in Mathe besser wird ist deswegen absurd, weil du hier die mathematische Analyse dieser Rätsel mit dem Lösungsweg verwechselst. Die Analyse der Rätsel ist anspruchsvolle Mathematik. Das Lösen der Rätsel ist das Antrainieren der typischen Muster und Suchen derselben im Rätsel. Minesweeper auf etwas höherem Niveau (bei Sudoku nicht einmal höher, würde ich sagen).
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otze schrieb:
Die Frage ist: "wie bereite ich mich am Besten auf das Mathestudium vor?" Und die von mir abweichenden Antworten sind im großen und ganzen in der Kategorie: "Lern einfach schonmal, was im Mathestudium dran kommen wird". Nun behaupte ich, dass wenn er sich ohne Hilfe etwas aus einem Mathebuch beibringen kann, er absolut keine Vorübung braucht.
@otze: Vielleicht bist Du ja ein Naturtalent, das alles auf Anhieb versteht, aber für viele Studienanfänger sind die Mathematikvorlesungen ein ganz enormer Hammer. Oft ist es für die Leute eine Hürde, an der sie scheitern. Wenn man sich im Vorfeld aber schon mit der Materie auseinandersetzt, dann hat man schon ein grundsätzliches Gedankengerüst, in das man alles neue einbauen kann. Die meisten Leute erhalten bei der ersten Lektüre bestimmter Fachliteratur kein allumfassendes Wissen. Insofern wird die Beschäftigung mit dem Stoff im Vorfeld des Studiums das Studium natürlich nicht ersetzen. Aber es wird das Studium erleichtern, weil man vieles eben schonmal gesehen hat.
Jetzt ist hier einer, der ganz explizit und frühzeitig fragt, was er machen kann, damit er nicht an den Mathevorlesungen scheitert. Aus meiner Sicht kann man da eine Menge machen. Jetzt hat er noch jede Menge Zeit. Im Studium muss er Dinge viel schneller verstehen. Wenn er da zu lange braucht, dann hat er ein Problem.
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Viele der Argumente wurden ja inzwischen genannt, aber ich mach Dir gerne nochmal ne Liste. Allein, das gründlich ausformulieren werde ich nicht, da stimmt imo die Kosten-Nutzenrechnung nicht.
- mehr Mustererkennung als Anwendung von logischen Schlussregeln
- zu eingeschränkte Möglichkeiten überhaupt irgendwas interessantes zu argumentieren, letztlich passt alles in eine hand voll Schablonen "wenn hier die Zahl steht, dann kann sie nicht hier stehen etc.", weil Sudoku einfach nicht mehr hergibt.
- ungeeignete strukturelle Eigenschaften: konkrete, sehr endliche Struktur bei der sogar rumprobieren zum Ziel führt. eigentlich will man aber abstrakte, nur durch Axiome definierte Strukturen behandeln können. (allein die Tatsache, dass man sudokus simpel per backtracking lösen kann zeigt doch, dass einfach riesige Anteile fehlen)
- mangelnder abstraktionsgrad: es gibt keine Definitionen/Aussagen auf die zum Formulieren und Erklären komplexer Zusammenhänge zurückgegriffen wirdIch bin mir sicher, dass wir noch viel mehr finden können, aber ich denke dass eigentlich jeder dieser Punkte allein zeigt warum Sudoku einfach keine Vorbereitung auf Mathematik im Studium ist.
Ich einem Punkt möchte ich Dir allerdings ausdrücklich recht geben. Ich denke auch nicht, dass jemand, dem es gelingt sich den Stoff aus den Büchern zu erarbeiten eigentlich keine Vorbereitung braucht. Ich glaube, dass Mathematik gerade in den Grundlagen durchaus davon lebt, dass man das von einem (guten) Dozenten vernünftig erklärt kriegt. Wenn man einen gewissen Grundstock an Wissen hat, dann kann man auch gut mit Büchern, aber davor ist das reichlich mühsam und ich habe meine Zweifel dass das gut investierte Zeit ist.
So und jetzt nochmal zurück dazu.
otze schrieb:
Worauf Jester rumtrollt. Ich sehe das mal als kleinen Sieg meinerseits.
Merkst Du eigentlich was Du hier grad anrichtest? Hier fragt jemand wie er sich auf den Matheanteil im Studium vorbereiten kann. Und du empfiehlst ihm seine Zeit damit zu verschwenden Sudokus zu lösen? Bist Du noch ganz bei Trost? Stell Dir vor der macht das jetzt wirklich und zwingt sich zu ganz viel Sudokus weil es ja so ne super Vorbereitung auf Mathematik im Studium ist. Klingt das für Dich nach ner guten Idee? Kannst Du das verantworten? Denkst Du allen ernstes damit kann er dann richtig durchstarten? (Was Dein Prof wohl dazu sagen würde?).
Aber ist okay, Du hast gewonnen. Am besten Du trägst den Sieg schnell davon.
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Mechanics schrieb:
Das hat nichts mit Formeln zu tun, schon gar nicht an der Uni, du musst eher abstrakt denken können.
ScottZhang schrieb:
Mathe muss man nicht trainieren, das kann jeder. Denn Mathe ist denken.
otze schrieb:
Also sage ich: lerne, logisch zu denken, und logische Rtsel führen sehr schnell zu ähnlichen Denkmustern.
Könnt Ihr mal etwas genauer erläutern, was Ihr unter "denken", "abstrakt denken" und "logisch denken" versteht? ...vielleicht auch noch "analytisch denken", weil man das auch andauernd hört. Habt Ihr mal einen Menschen getroffen, der von sich selbst gesagt hat, dass er nicht so denken kann? Andererseits wundert man sich ja häufig, was andere Leute so alles "logisch" und ähnlich finden. Zumindest denke ich, dass das völlig schwammige Begriffe sind, die dem Threadersteller vermutlich nicht besonders viel weiterhelfen werden. Da kann man ja absolut alles oder auch gar nichts reininterpretieren.
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Jester schrieb:
Ich glaube, dass Mathematik gerade in den Grundlagen durchaus davon lebt, dass man das von einem (guten) Dozenten vernünftig erklärt kriegt. Wenn man einen gewissen Grundstock an Wissen hat, dann kann man auch gut mit Büchern, aber davor ist das reichlich mühsam und ich habe meine Zweifel dass das gut investierte Zeit ist.
Hmmm.
Es ist natürlich jeder Mensch anders und ebenso sind die Lernmethoden, mit denen man effizient und effektiv lernen kann, für jeden Menschen andere. Ich habe damals im Studium relativ viel aus Büchern gelernt und habe relativ wenig aus Vorlesungen mitgenommen. Deswegen habe ich nie ein großes Problem darin gesehen, Leuten zu sagen, sie sollen doch einfach mal in einem entsprechenden Fachbuch lesen, wenn sie sich etwas bestimmtes aneignen möchten. Aber vielleicht ist das in der Tat nicht für jeden die beste Option. Letztendlich muss da wohl jeder selbst ausprobieren, wie er sich bestimmte Dinge am Besten aneignen kann. Aber: Das sollte vor dem Studium geschehen. Ich erinnere mich, dass es damals, als ich mit dem Studium angefangen habe, Leute gab, die Bücher mit Titeln wie "Lernen lernen" gelesen haben. Ich glaube nicht, dass die das Studium durchgezogen haben.
Aber was genau kann einem ein Dozent geben, was einem ein Buch nicht gibt? Einen wesentlichen Unterschied in den Aussagen, die man in einer Vorlesung hört und die in einem Buch stehen, habe ich damals nicht feststellen können. Für mich war allerdings ein ganz erheblicher Unterschied, dass Vorlesungen entweder zu langsam oder zu schnell waren, Bücher hingegen immer genau mein Tempo hatten. Da kann man nämlich einfach anhalten und einen Absatz nochmal lesen, wenn man etwas nicht verstanden hat. Wären Videovorlesungen, wie man sie im Internet findet, aus Deiner Sicht näher an einer Vorlesung dran und somit besser zur Vorbereitung geeignet als ein Buch? ...also "für die Leute besser, die eben aus Vorlesungen mehr mitnehmen". Oder sind es mehr die Übungsgruppen, um die es Dir geht? Das wäre etwas, was ich besser nachvollziehen könnte.
Was wäre denn Deine Empfehlung an den Threadersteller?
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@Jester Dann überleg dir mal, wie Mathe so in den ersten 2 Semestern aussieht (wenn ein Informatiker überhaupt mehr hat): muster erkennen und regeln anwenden. Das ist wirklich nicht mehr und garantiert nicht schwieriger als Sudoku. Natürlich muss man neue Muster lernen und nuen Regeln anwenden. Durch Analysis kommste damit aber durch den Kurs. Dieses erkennen der Muster und das Gefühl, ob ein Muster zum Ziel führt, muss man aber lernen. Und das kann man auch trainieren, indem man nicht Mathe macht, sondern Logikrätsel angeht, da jed Kategorie von Logikrätseln irgendwas neues darstellt. Sicher, nach dem 10. Dusoku wird Sudoku nicht mehr viele aha-momente auslösen, da hat man die wichtigsten Strategien. Dann wächselt man auf ein anderes Rätsel.
Mustererkennung ist meiner Meinung nach die wichtigste Fähigkeit um Mathe zu machen. Und die fehlt halt den meisten Studenten komplett. Die sehen ja nichtmal, das sie mal kürzen können. Oder merken gar nicht, dass sie mal geduldig mehrere Ansätze ausprobieren müssen. Ich kenn die Situation als Student und Übungsleiter, weiß also genau wie so der Durchschnitt der Informatiker bei uns tickt.
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otze schrieb:
@Jester Dann überleg dir mal, wie Mathe so in den ersten 2 Semestern aussieht (wenn ein Informatiker überhaupt mehr hat): muster erkennen und regeln anwenden.
Ist das dein Ernst? Da kannst du auch sagen, dass du durch Autofahren (ist hauptsächlich Regeln anwenden und Muster erkennen) zum besseren Mathematiker wirst, wenn für dich da kein Unterschied in der Qualität dieser Begriffe im Kontext von Hochschulmathematik und Logikrätseln besteht. Ich würde sogar anzweifeln, dass die allgemeine Fähigkeit, Regeln anzuwenden und Muster zu erkennen in einem Bereich irgendwie übertragbar ist auf andere Regeln und andere Muster.
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otze schrieb:
Und das kann man auch trainieren, indem man nicht Mathe macht, sondern Logikrätsel angeht, da jed Kategorie von Logikrätseln irgendwas neues darstellt. Sicher, nach dem 10. Dusoku wird Sudoku nicht mehr viele aha-momente auslösen, da hat man die wichtigsten Strategien. Dann wächselt man auf ein anderes Rätsel.
BTW: Es wundert mich, dass Du Sudoku andauernd als "Logikrätsel" bezeichnest. Was hat denn Sudoku mit Logik zu tun? Ich sehe da ungefähr gar keinen Zusammenhang. Aus Sicht der Informatik würde ich Sudoku als Constraint Satisfaction Problem ansehen. Und in dem Zusammenhang könnte es durchaus interessant sein, sich mal ein bisschen damit zu beschäftigen. Zumindest kann man an Sudokus ein paar grundsätzliche Strategien ausprobieren, mit denen man an Constraint Satisfaction Probleme herangeht.
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Wikipedia schrieb:
„Zahlen trage ich nur mit Bleistift ein, um sie notfalls wieder wegradieren zu können. Eine unsichere Zahl markiere ich mit einem Sternchen, alle nachfolgenden dann mit einem Punkt. Taucht später ein Fehler auf, kann ich alle markierten Zahlen wegradieren und an der Sternchen-Stelle neu ansetzen“, empfiehlt Kerstin Wöge aus Spandau, die erste Sudoku-Meisterin, in der BZ vom 29. November 2005.
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Euklid schrieb:
Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.
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Gregor schrieb:
BTW: Es wundert mich, dass Du Sudoku andauernd als "Logikrätsel" bezeichnest.
Das ist nicht unüblich. Jemand, der Mondscheinwurst (jadoch, dafür gibt es einen Markt) kauft, für den ist das Lösen eines Sudokus geballte Logik.
Gregor schrieb:
Ich habe damals im Studium relativ viel aus Büchern gelernt und habe relativ wenig aus Vorlesungen mitgenommen.
War bei mir genau andersrum.
Tja, mir scheint, jeder empfiehlt gerade das, was er selber gemacht hatte, es hat ja auch funktioniert. Dabei sind die Wege soo unterschiedlich, daß ich nicht glauben mag, daß die Empfehlungen helfen.
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volkard schrieb:
Dabei sind die Wege soo unterschiedlich
Mag sein, dass dei Wege unterschiedlich waren, trotzdem gibt es sicherlich auch Gemeinsamkeiten.
Ich habe den Stoff des früheren Vordiploms (hoffe es gibt auch heute noch was vergleichbares) 3 mal intensiv bearbeitet:
- Vorlesung
- Vordiplom
- Nach dem Studium, weils mir gefehlt hat
und jedes Mal habe ich anschließend deutlich mehr verstanden.
Ich denke wirklich verstehen, werden nur die Wenigsten während der Vorlesung.Von daher halte ich ein Buch durchzuarbeiten -selbst wenn man nicht so viel versteht- für eine sehr gute Vorbereitung.
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Ich denke zwar nicht, dass das Loesen von Raetseln wesentlich zur Vorbereitung auf den Matheteil eines Studium beitragen kann, aber wenn man nicht damit anfaengt, mit diesem Ziel Unmengen an solchen Raetseln zu loesen, dann wird es sicherlich auch nicht schaden, ein bisschen mit solchen Dingen zu spielen. Letztendlich sind solche "Mustererkennungsaufgaben" ja durchaus die Quintessenz dessen, was Leuten auch in IQ-Tests abverlangt wird. Ich weiss nicht, inwiefern das Gute Abschneiden in solchen Tests ein Indikator fuer irgendetwas ist, aber sich die dort benoetigten Denkweisen halbwegs anzueignen, kann sicherlich nicht schaden. Wobei ich davon ausgehe, dass bei den meisten Nutzern dieses Forums derartige Denkweisen sowieso sehr gut ausgepraegt sind, da Programmieren durchaus auch zum Ausbau dieser Faehigkeiten beitraegt.
Es gibt eine ganze Menge Computerspiele, die jede Menge Raetsel enthalten. Davon kann man ja mal ein paar durchspielen, anstatt immer nur doofe Ego-Shooter zu zocken. Macht sicherlich sogar Spass. Auf Anhieb faellt mir Castle of Dr. Brain ein. Das kann man sich ja mal besorgen (ist bestimmt Abandonware).
Jenseits davon wuerde ich generell empfehlen, sich als Vorbereitung einfach mal mit irgendwelchen Themen des Studiums zu beschaeftigen. Das muss nicht unbedingt Mathematik sein, es hilft auch schon, wenn man programmiert (wobei man natuerlich auch gut Sachen programmieren kann, die einen Bezug zur Mathematik haben). Alles, was man vor dem Studium kann, entlastet einen im Studium, wenn man es ansonsten dort lernen muesste. Wie gesagt: Im Studium geht man den Stoff in einem hohen Tempo durch: Wenn man dann in einem Bereich schon gutes Vorwissen hat, kann man die dort gesparte Zeit fuer die anderen Themen nutzen.
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Gregor schrieb:
dann wird es sicherlich auch nicht schaden, ein bisschen mit solchen Dingen zu spielen. Letztendlich sind solche "Mustererkennungsaufgaben" ja durchaus die Quintessenz dessen, was Leuten auch in IQ-Tests abverlangt wird.
Diese Mustererkennungsaufgaben sind übrigens meine Schwäche bei den IQ-Tests, weil ich mich einfach nichts aufs Nivau der Psychologen begeben kann und nicht errate, was die für "logisch" halten. Ist vielleicht auch besser so, sonst hätte ich in Mathe wohl auch viele Muster gesehen, die eigentlich gar nicht da sind.
Gregor schrieb:
Ich weiss nicht, inwiefern das Gute Abschneiden in solchen Tests ein Indikator fuer irgendetwas ist,
Also für Mathenoten isses bei mir ein Kontraindikator.
Gregor schrieb:
aber sich die dort benoetigten Denkweisen halbwegs anzueignen, kann sicherlich nicht schaden.
Ausreichend relativiert, kann es auch sicherlich nicht schaden, gelegentlich halbwegs ein wenig Opium zu rauchen. Daraus möchte ich aber nicht ableiten, zu empfehlen, als Vorbereitung fürs Studium damit zu beginnen.
Gregor schrieb:
Wobei ich davon ausgehe, dass bei den meisten Nutzern dieses Forums derartige Denkweisen sowieso sehr gut ausgepraegt sind, da Programmieren durchaus auch zum Ausbau dieser Faehigkeiten beitraegt.
Also IQ-Test-Mustererkennung, Kreuzworträtseln, Sudoku, da biste bei mir an der falschen Adresse, das kann jeder dahergelaufene Lump besser als ich.
Ist die Gleichsetzung von "Mustererkennung" und "Mathefähigkeit" bzw "Programmierkompetenz" nicht gerade ein Paradebeispiel von mißlungener Mustererkennung? Also wer überall wie bekifft bunte Muster erkennt, der erkennt das Muster: Mustererkennen ist gut.
Der hält Mustererkennung für was Wichtiges (und kauft Vollmondwurst, Bio-Produkte, Atomstromfilter und anderen Esoterikmist (Muster!)). Und wer's nicht tut, ist ein besserer Mathematiker.
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volkard schrieb:
Gregor schrieb:
aber sich die dort benoetigten Denkweisen halbwegs anzueignen, kann sicherlich nicht schaden.
Ausreichend relativiert, kann es auch sicherlich nicht schaden, gelegentlich halbwegs ein wenig Opium zu rauchen. Daraus möchte ich aber nicht ableiten, zu empfehlen, als Vorbereitung fürs Studium damit zu beginnen.
Mein Posting war im Wesentlichen nur als Hinweis gedacht, wo man derartige Raetsel jenseits von Sudokus finden kann, wenn man sich schon damit auseinandersetzen moechte. Ich habe da eine Menge relativierende Aussagen reingesetzt, weil ich eben auch skeptisch bin, inwiefern das irgendetwas bringt. ...und genauso bin ich bezueglich der Aussagekraft des IQs skeptisch. Ich denke, das geht aus meinem Posting hervor.
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mathewissen schrieb:
Ist das Verständnis von Mathematik grundsätzlich trainierbar?
Keine Ahnung. Bei mir anscheinend nicht. Ich habe das Gefühl, daß es über die Jahre ungefähr gleich bleibt.
mathewissen schrieb:
Kann ich mir durch üben Mathematik so aneignen das ich nicht unbedingt alle Formeln weiß
Formeln sind eh vollkommen irrelevant.
mathewissen schrieb:
aber mit gestellten Aufgaben anders umgehe, sodass ich die Aufgabe nicht schon falsch in die Hand nehme?
Guter Punkt. Ich hab vor dem Studium gerne Bücher gelesen, die man bei Unterhaltungsmathematik wohl einstuft. Gerne von Martin Gardner. Jo, das hat mich, denke ich, schon deutlich flexibler gemacht und mir später oft erlaubt, mehr Lösungen zu sehen als die "fleißigen" Studenten. Aber ich fürchte, da jetzt genau in das Problem zu verfallen, einfach zu empfehlen, wie ich es gemacht hatte, bei mir hats ja funktioniert. Keine Ahnung, was für Dich am besten wäre.
mathewissen schrieb:
Oder muss das einem zwingend angeboren sein?
Keine Ahnung. Ich kann da leider keine Experimente machen mangels Wiedergeburtsmöglichkeit. Und daß die Messung der Schulnoten eher nix über Mathe-Begabung aussagt, weiß ich, insofern erübrigt sich jeder Vergleich zwischen Schulnoten und Hochschulnoten.
Ich sehe, daß man mit wenig Begabung und viel Fleiß genug kompensieren kann, um ungefährdet ein Studium zu packen. Außer, man ist zufällig universalunbegabt, dann reichen die 24 möglichen Lernstunden pro Tag halt nicht mehr aus.
Im Studium hat es mir auch in Mathe viel geholfen, mit den Augen eines Programmieres zu sehen. Von daher wäre doch das von dot schon genannte Projekt Euler eine Maßnahme. Mist, schon wieder ein "einfach zu empfehlen, wie ich es gemacht hatte, bei mir hats ja funktioniert".
Ob's Stimmen gibt, wo jemand mal schreibt, was er als Vorbereitung gemacht hat und wo es gar nicht geklappt hat?
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Die Angst vor Mathe ist eine gesellschaftliches Phänomen. Mathe wird dir schon von Klein auf als "schwer" herangetragen. "Nicht schlimm wenn du das nicht kannst, das kann keiner".
Mathe ist aber nicht nur der Formalismus. Insbesondere das "Mathe-Verständnis", um das es hier ursprünglich ging, gibt es nicht wirklich. Mathe als Formalismus ist, einen Gedanken in einer Form aufzuschreiben die möglichst universell verständlich ist. Also is Mathe-Verständnis Denken.
Diese Vorprägung durch die Gesellschaft hindert die meisten massgeblich daran in das Symbolgewirr von Mathe tiefer ein zu steigen. Dahinter verbirgt sich aber ein Gedanke, ein Weltanschauung, ein Erklärung für etwas.
Vor Schrifft hat auch keiner Angst, es wird dir auch niemals gesagt; "Schreiben, uh das ist Sau schwer". Es wird dir gesagt; "Das musst du aber können, das kann jeder".
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Also IQ-Test-Mustererkennung, Kreuzworträtseln, Sudoku, da biste bei mir an der falschen Adresse, das kann jeder dahergelaufene Lump besser als ich.
Bei den letzten Zwei stimme ich dir zu. Jedoch verstehe ich nicht, warum dir IQ-Tests nicht zusagen. Dinge wie räumliches Vorstellungsvermögen und Mustererkennung benötigen doch mathematische Veranlagungen wie deine?
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Arcoth schrieb:
Also IQ-Test-Mustererkennung, Kreuzworträtseln, Sudoku, da biste bei mir an der falschen Adresse, das kann jeder dahergelaufene Lump besser als ich.
Bei den letzten Zwei stimme ich dir zu. Jedoch verstehe ich nicht, warum dir IQ-Tests nicht zusagen. Dinge wie räumliches Vorstellungsvermögen und Mustererkennung benötigen doch mathematische Veranlagungen wie deine?
Ich meine Dinge wie Fragen 16 bis 22 auf http://www.testedich.de/tests/iq-test.php3
Da hab ich anscheinend ein komplettes Mustererkennungsversagen, der Quatsch sagt mir nix. Und dann kommt am Ende raus, daß ich schwächliches mathematisches Verständnis habe. Gibt's für diese Mustererkennungsaufgaben einen Leitfaden, damit ich mal lernen kann, was die Psychologen da für ein Vorgehen erwarten? In den IQ-Test-Büchern steht immer nur der Lösungsbuchstabe aber kein Wort zur Begründung.
Frage 23,
oder doch a, weil sie als einzige Figur keine verschieden langen Seiten hat,
ach, vielleicht die e, sie ist als einzige nicht spiegelsymmetrisch,
hih, die c, weil sie kein Viereck ist,
die e hat als einzige keinen Umkreis,
was soll ich nehmen?Ich wähle mal die e, die hat immerhin zwei schöne Argumente, die anderen nur eins. Soviel zur "Logik". Nur eins ist da sicher, ich mache damit keine Punkte.
Nu kommt der Psychologe und seine Mathekenntnisse reichen vielleicht noch nicht bis zum Wort "Symmetrie" und er hält die Dreieckigkeit für Wichtig? Man kann's nicht erraten, keine Ahnung hat, wer den Test erstellt hat.
edit3:
Frage 2: Führen sie die Zahlenfolge fort: 4, 5, 8, 17, ...
Ihre Antwort: 34
Falsch! Die richtige Antwort ist: 44. Begründung: Die vorhergehende Zahl mal 3 und vom Ergebnis wird 7 abgezogen. Beispiel: 4 * 3 = 12; 12 - 7 = 5; oder (4+3hoch0)=5, (5+3hoch1)=8, (8+3hoch2)=17 ==> (17+3hoch3)=44Ich machte wohl 4 *2-3=5 *2-2=8 *2-1=17 *2-0=34, aber das wollte die nicht. Woher soll ich wissen, was die wollen?
Frage 10: Setzen Sie den fehlenden Buchstaben ein, so daß zwei Wörter entstehen: LAU…TAU
Ihre Antwort: B
Falsch! Die richtige Antwort ist: S. Begründung: Laus; Stau
Oh, die … mussen an beiden Wortern teilnehmen. Pech gehabt, was Frage 12 auch gekostet hat.
