4. Zeitliche Ableitung in einem rotierendem und einem feststehendem System bilden

Zeitliche Ableitung in einem rotierendem und einem feststehendem System bilden

  • P

    Guten Tag,

    ich habe ein mathematisches Problem zu dem ich etwas Hilfe benötige: Es geht hierbei um die Bestimmung der zeitlichen Ableitung in zwei unterschiedlichen Bezugssystemen.

    Hier zunächst eine kurze Schilderung der Situation:
    Ich untersuche das Ergebnis einer numerischen Simulation, die aus einem rotierendem Teil "Rotor" sowie einem stehenden Teil "Stator" besteht. Beide Teilgebiete beinhalten die physikalische Größe "Druck = p", die zeitlich varriert. Die Informationen der lokalen Drücke sind in den Zellen des Rotors und des Stators gespeichtert. Die Zellen sind für jeden Zeitschritt die gleichen und werden im Falle des Rotors immer um den jeweiligen Zeitschritt |Dt| verdreht.

    Die Winkelgeschwindigkeit des Rotors sei nun |Omega|.

    Mein Ziel ist es nun die Zeitableitung der Größe "Druck" zu bestimmen (im Absolutsystem!!!).

    \Phi = \cfrac{\partial p}{\partial t}_{(abs)}

    Wenn ich Phi nun ausrechne, sehe ich immer einen "unphysikalischen Sprung" zwischen dem Rotor und dem Stator. Dies liegt meiner Ansicht nach daran, dass ich die Zeitableitung im Rotor nicht ortsfest durchführen kann, denn das Netz bewegt sich ja....
    Mit anderen Worten: Wenn ich die Ableitung diskret bilde, dann lautet diese immer
    \Phi = \cfrac{p_{(i,j,k)}^{(n+1)} - p_{(i,j,k)}^{(n+1)}}{(2 \Delta t)}.

    Die Zelle mit den Indizes (i,j,k) hat sich aber aufgrund der Rotationsgeschwindigkeit Omega räumlich verschoben. Wie muss ich also die Ableitung korrigieren???

    Vielen Dank

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  • P

    Muss man die Zeitableitung derart ins Absolutsystem umrechnen:
    \Phi_{abs} = \cfrac{\partial p}{\partial t}_{abs} = \cfrac{\partial p}{\partial t}_{rel} - \Omega\cdot R \cfrac{\partial p}{\partial \theta}
    bzw. in diskreter Notation

    \Phi_{abs} = \cfrac{\partial p}{\partial t}_{abs} = \cfrac{p^{(n+1)}_{(i,j,k)} - p^{(n-1)}_{(i,j,k)}}{2\Delta t} - \Omega\cdot R \cfrac{p^{(n+1)}_{(i,j,k)} - p^{(n-1)}_{(i,j,k)}}{2 \Delta \theta}

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  • P

    Ist das Vorzeichen "-" (Minus) richtig????

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  • J

    Was auch immer du da machst, sieht auf jeden Fall sehr abenteuerlich aus. Von deiner (wirren) Erklärung werde ich nicht schlau. Du hast ein rotierendes Bezugssystem. In dem befinden sich irgendwelche Zellen die Druck messen. Was für ein Druck? Hast du also einen rotierenden Gasbehälter?
    Was ist das absolute Bezugssystem? Etwa das Laborsystem? Wo ist der Unterschied vom Laborsystem zum "Statorsystem"? Was ist der Zusammenhang zwischen Druck und Zeit?
    Woher kommt deine komische Formel mit dem Minus? Was ist R? Der Radius einer rotierenden Kugel? Scheibe?

    Wenn dein Druck eine Funktion von Zeit und Ort ist, musst du u.a. die Kettenregel benutzen, um die totale Ableitung zu bekommen. Du schreibst da aber nur partielle Ableitungen. Warum sollte die Zeit im rotierenden Bezugssystem eine andere sein? Etwa relativistisch?

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  • P

    Hallo,

    ok, ich muss sicherlich einige Dinge klarstellen:

    1. Es gibt einen rotierenden und einen feststehenden Körper (mit Schaufeln).
    Der Rotierende wird als Laufrad oder Rotor bezeichnet - Bezeichnung kommt aus einer Turbomaschine.
    2. Beide Teile werden von Luft durchströmt, weshalb überall ein statischer Druck [Pa] vorliegt.
    3. R ist der Radius "R=qrt(y^2 + z^2) und "\theta= atan2(z,y y)" der Rotationswinkel um x (Rotationsachse)

    Der Druck ist in der Tat eine Funktion von x,y,z und auch von t der Zeit. Die unten angegebene Formel (Druckgradient im Absolutsystem) habe ich aus einem Paper. Ich finde sie auch einigermaßen gut vorstellbar....

    Kannst Du mir bitte einmal erklären, wo genau ich die Kettenregel vergessen habe?

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  • P

    Der Term
    -R\cdot\Omega \cfrac{\partial p}{\partial\theta}
    berücksichtigt die Verdrehung des Netzes zwischen den Zeitschritten (n+1) und (n-1). Oder mit anderen Worten: Eine zeitliche Änderung bewirkt eine Verschiebung der Zellen im Rotorsystem, aber keine Verschiebung in radialer oder auch axialer Richtung. Deswegen finde ich, dass die obige Formel Sinn macht.

    Aber ich bin für jegliche konstruktive Kritik offen. Danke!

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  • J

    > Der Term [...] berücksichtigt die Verdrehung des Netzes zwischen den Zeitschritten (n+1) und (n-1).

    Und er ist vermutlich auch die Anwendung der (mehrdimensionalen) Kettenregel, sofern p=f(t,θ(t))p = f(t, \theta(t)) und θ˙(t)=Ω\dot \theta(t) = \Omega, denn dann ist \cfrac{dp}{dt} = \cfrac{\partial p}{\partial t} + \cfrac{\partial p}{\partial \theta} \cfrac{\partial \theta}{\partial t} = \cfrac{\partial p}{\partial t} + \Omega \cfrac{\partial p}{\partial \theta}. Das erklärt jedoch nicht den Faktor −R-R, vermutlich deshalb, weil p(t,θ(t))p(t, \theta(t)) etwas anders ausschaut, vielleicht p(t,−Rθ(t))p(t, -R\theta(t)) (wenn auch physikalisch zweifelhaft). Wie auch immer, wo ist nun dein Problem?

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  • P

    Hallo,

    danke schon einmal für den lezten Beitrag. Ich möchte darauf aber gerne noch einmal antworten:

    Der Druck ist in kartesischen Koordinaten eine Funktion von x,y,z und t p=f(x,y,z,t)p = f(x,y,z,t)
    und in zylindrischen Koordinaten analog: p=f(x,R,θ,t)p = f(x,R,\theta, t)
    Der Faktor −R-R steht in mehreren Quellen noch vor der ∂p/∂θ\partial p / \partial\theta. Seine genaue Entstehung kann ich leider so ad hoc nicht begründen - er erscheint mir jedoch plaubsibel da R⋅ΩR\cdot\Omega eine Rotationsgeschwindigkeit ist, mit der ein Signal im Kreis bewegt wird.

    Mein Problem ist, dass die Größe Φ\Phi zwischen dem Rotor und dem Statorsystem nicht glatt verläuft, was ich jedoch erwarte..... 🙄

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  • P

    Also wenn ich Deine Erklärung mit der Kettenregel umsetze, bedeutet dies:

    \cfrac{dp}{dt} = \cfrac{\partial p}{\partial t}_{(rel)} + \cfrac{\partial p}{\partial \theta} \cfrac{\partial \theta}{\partial t} + \cfrac{\partial p}{\partial x} \cfrac{\partial x}{\partial t} + \cfrac{\partial p}{\partial R} \cfrac{\partial R}{\partial t}\\ \cfrac{dp}{dt} = \cfrac{\partial p}{\partial t}_{(rel)} + \cfrac{\partial p}{\partial \theta} \Omega

    da die Ableitungen \cfrac{\partial x}{\partial t} und \cfrac{\partial R}{\partial t} jeweils null sind.

    Nach wie vor - ich weiß leider nicht, wo das −R-R herkommt und sehe, dass es in mehreren einschlägigen Arbeiten so angegeben wird.

    Ich habe in einem Skript noch ein Beispiel (Impulssatz) gefunden, welches sehr ähnlich aussieht.

    \cfrac{\partial (\rho\vec{c})}{\partial t}_{(abs)} + ... = \cfrac{\partial (\rho\vec{c})}{\partial t}_{(rel)} - \vec{u}\cdot\nabla(\rho \vec{c}) - \underbrace{(\rho\vec{c})\nabla(\vec{u})}_{=0} + ...

    Und auch hier taucht, wieder das −R-R auf, denn es gilt:
    u⃗=Ω⃗×R⃗\vec{u} = \vec{\Omega} \times \vec{R}

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  • P

    Ein kleines Update meinerseits:
    - Ich denke, dass Du recht hast und der "Vorfaktor" −R-R keinen Sinn macht. Dies sieht man bereits, wann man einfach die Einheiten von allen Ausdrücken vergleicht.
    - Allerdings kann ich die Richtigkeit des Minuszeichens bislang immer noch nicht erklären/aufklären.

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