4. Eindeutigkeit der Ableitung

Eindeutigkeit der Ableitung

  • J

    Mag vielleicht dumm klingen, aber ich blick etwas gerade einfach nicht:

    Gibt es zwei Funktionen u:R→Ru: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} und v:R→Rv: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, wobei ∄c∈R∀x∈R:u(x)=v(x)+c\nexists\: c \in \mathbb{R} \:\forall \: x \in \mathbb{R}: u(x) = v(x) + c, sodass

    u′(x)=v′(x)∀x∈Ru'(x) = v'(x)\:\forall \: x \in \mathbb{R} erfüllt ist?

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  • Mit anderen Worten: Du fragst, ob eine Funktion zwei verschiedene Stammfunktionen haben kann? http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion#Existenz_und_Eindeutigkeit

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  • J

    Ne, ich meinte es schon so wie ich gefragt habe, also prinzipiell ob es zwei Stammfunktionen einer Funktion gibt, deren Differenz nicht konstant im gesamten Definitionsbereich ist. Nach Wikipedia nein, nach meinen bisherigen Erfahrungen auch nicht und es ist mir eigentlich peinlich zu fragen.

    Dann habe ich in einer konkreten Rechnung wohl einen Fehler gemacht, weiß aber nicht wo.
    Bestätigt man mir, dass i.A. gilt:

    −ln(1−e−x)≠x−ln(1−ex)-\ln{(1-e^{-x})} \neq x-\ln{(1-e^x)}

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  • S

    Von Deinen beiden Logarithmen ist immer einer nicht definiert...

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  • J

    SG1 schrieb:

    Von Deinen beiden Logarithmen ist immer einer nicht definiert...

    Genau. Zwei disjunkte Definitionsmengen.

    Wenn ich beide Seiten von

    −ln(1−e−x)≠x−ln(1−ex)-\ln{(1-e^{-x})} \neq x-\ln{(1-e^x)}

    nun differenziere, bekomme ich jeweils 11−ex\frac{1}{1-e^x} heraus.

    Umgekehrt habe ich bisher drei Wege gefunden, 11−ex\frac{1}{1-e^x} zu integrieren, wobei mich zwei auf die rechte Seite und einer auf das Ergebnis der linken Seite von

    −ln(1−e−x)≠x−ln(1−ex)-\ln{(1-e^{-x})} \neq x-\ln{(1-e^x)}

    bringen. Verletze ich mit diesen Funktionen irgendwo die Bedingungen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, sodass die Ergebnisse nicht eindeutig sind?

    Edit: Ah ja ich sehe schon, die Ableitungen sind natürlich nicht gleich, auch wenn sie den gleichen Term 11−ex\frac{1}{1-e^x} für ihre Definition nutzen, haben sie natürlich den jeweils unterschiedlichen Definitionsbereich der Stammfunktion. Ist das die Lösung meines Problems?

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  • B

    Wenn die Definitionsmengen disjunkt sind, wo ist dann noch das Problem? Es gibt doch dann gar keine Mehrdeutigkeit.

    edit: Zu deinem Edit: Ja.

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  • J

    Bashar schrieb:

    Wenn die Definitionsmengen disjunkt sind, wo ist dann noch das Problem? Es gibt doch dann gar keine Mehrdeutigkeit.
    edit: Zu deinem Edit: Ja.

    Okay, gut. So ein Fall ist mir bisher noch nie begegnet, wo es so sehr auf den Definitionsbereich ankommt.

    Was ich mich jetzt frage ist, wenn ich ein Integral berechne und die Terme der Stammfunktion sich unterscheiden, je nach dem, welchen Definitionsbereich ich wähle. Kann ich während des integrierens irgendwie beeinflussen, welches Ergebnis ich für welchen Definitionsbereich bekommen werde? Ich habe mehr aus Zufall und Spaß an der Freude diese Funktion 11−ex\frac{1}{1-e^x} auf zwei Wegen integriert und bekomme demnach entweder die Stammfunktion, die links oder rechts der 0 definiert ist.

    Wenn ich z.B. x−1x^{-1} integriere, bekomme ich ln(x)\ln{(x)} oder −ln(x)-\ln{(x)} heraus, je nach dem, ob ich die Funktion x−1x^{-1} in ]0, \infty[ oder ]-\infty, 0[ definiere. Nun ist die Funktion x−1x^{-1} aber symmetrisch um seine Unstetigkeitsstelle (also symmetrisch im Sinne von f(−x−a)=−f(x−a)f(-x-a) = -f(x-a), wenn a die Unstetigkeitsstelle ist), also unterscheiden sich die Terme der Stammfunktion trivialerweise nur um ein Vorzeichen.
    Eine unsymmetrische Funktion wie 11−ex\frac{1}{1-e^x} bietet das, wie man sieht, nicht. Und wenn man das "Glück" hat, bei einer x-beliebigen unsymmetrischen Funktion mit einer Unstetigkeitsstelle ein Integral gefunden hat, so wird dies immer nur für einen eingeschränkten DB der Ausgangsfunktion stimmen.
    Während des integrierens hatte ich aber keinerlei Einfluss auf den Definitionsbereich, erst im Ergebnis. Ist es dann also pures Glück, die richtigen Integrale zu finden? Das war mir bisher noch nicht bewusst, diese Funktion 11−ex\frac{1}{1-e^x} ist ja äußerst lehrreich für mich. 😋

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  • B

    Jodocus schrieb:

    Wenn ich z.B. x−1x^{-1} integriere, bekomme ich ln(x)\ln{(x)} oder −ln(x)-\ln{(x)} heraus, je nach dem, ob ich die Funktion x−1x^{-1} in ]0, \infty[ oder ]-\infty, 0[ definiere. Nun ist die Funktion x−1x^{-1} aber symmetrisch um seine Unstetigkeitsstelle (also symmetrisch im Sinne von f(−x−a)=−f(x−a)f(-x-a) = -f(x-a), wenn a die Unstetigkeitsstelle ist), also unterscheiden sich die Terme der Stammfunktion trivialerweise nur um ein Vorzeichen.
    Eine unsymmetrische Funktion wie 11−ex\frac{1}{1-e^x} bietet das, wie man sieht, nicht.

    Das hat mit der Symmetrie nichts zu tun. Du musst einfach die Fallunterscheidungen richtig machen. Hier benutzt du irgendwo die Regel, dass 1/x als Stammfunktion ln|x| hat, also eine Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von x.

    BTW hat 1/x keine Unstetigkeitsstelle. Und für x<0 bekommst du ln(-x), nicht -ln(x).

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  • J

    Bashar schrieb:

    BTW hat 1/x keine Unstetigkeitsstelle.

    Streng genommen natürlich nicht, mir ging es hierbei nur um Funktionen, die nicht auf dem gesamten Intervall des R\mathbb{R} integrierbar sind, sondern z.B. nur auf zwei Teilintervallen links und rechts der Unstetigkeitsstelle/nicht definierten Stelle (für die man also zwei Funktionen definieren muss/nach Fällen unterscheiden muss).
    Wie würde denn die Fallunterscheidung bei
    ∫(1u+11−u)du\int (\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u})du
    mit u(x)=exu(x)=e^x aussehen? Für x < 0 ist 0 < u < 1, also wird das dann zu ln(u)−ln(1−u)=x−ln(1−ex)\ln{(u)}-\ln{(1-u)}=x-\ln{(1-e^x)}. Wie lautet der andere Fall, sodass −ln(1−e−x)-\ln{(1-e^{-x})} mit x > 0, also u > 1 herauskommt?

    Edit: Etwa x−ln(ex−1)x-\ln{(e^x-1)}? Dann muss das identisch sein mit −ln(1−e−x)-\ln{(1-e^{-x})}. Wow, das sehe ich nicht auf den ersten Blick!

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  • B

    Ja.

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