Gleichung umstellen

Hallo zusammen

Könnt ihr mir helfen, folgende Gleichung nach Lambda umzuformen?
$(x\_o + \lambda \times x\_d - x\_p)^2+(y\_o + \lambda \times y\_d - y\_p)^2+(z\_o + \lambda \times z\_d - z_p)^2=r^2$
Muss ich die Klammer-Potenzen ausmultiplizieren?

Bashar

Ja. Dann Lösungsformel für die quadratische Gleichung anwenden.

Schreibe es vektoriell:

$\left\| \vec{o} + \lambda \vec{d} - \vec{p} \right\|_2^2 = r^2$

Es ist dann praktischer o und p zusammen zu fassen. Sei t = o-p

$\left\| \lambda \vec{d} + \vec{t} \right\|_2^2 = r^2$

Das Quadrat der linken Seite kann man als Skalarprodukt schreiben:

$\left( \lambda \vec{d} + \vec{t} \right) \cdot \left( \lambda \vec{d} + \vec{t} \right) = r^2$

Ausmultiplizieren und das r^2 auf die andere Seite bringen ergibt

$\left\| \vec{d} \right\|\_2^2 \lambda^2 + 2 \vec{t} \vec{d} \lambda + \left\| \vec{t} \right\|\_2^2 - r^2 = 0$

Und Du hast eine quadratische Formel in lambda -- ganz unabhängig davon, mit wievielen Dimensionen du zu tun hast.

Mit $\left\| \cdot \right\|_2^2$ ist die euklidische Norm zum Quadrat gemeint.

Hallo und danke für die Antworten!

@kkaw:
Danke für deine Mühe das so auszuschreiben, eins ist mir aber nicht klar. Nachdem du die binomische Formel angewendet hast, multiplizierst du 2*t*d*lambda. Muss ich hier 2*t und d*lambda wie Multiplikationen mit einem Skalar anschauen und dann die Ergebnisse als Skalarprodukt verrechnen? Und danach ganz trivial die pq-Formel bzw. die abc-Formel anwenden?

Jester

t*d ist ein Skalarprodukt, da kommt eine Zahl raus. Insgesamt steht beim lambda dann ein Koeffizient von 2*t*d. Und ja, danach kannst Du einfach die abc/pq-formel benutzen.

Jester schrieb:

t*d ist ein Skalarprodukt, da kommt eine Zahl raus. Insgesamt steht beim lambda dann ein Koeffizient von 2*t*d. Und ja, danach kannst Du einfach die abc/pq-formel benutzen.

Oh man, manchmal frag ich mich nachträglich wirklich was ich da gefragt habe... Danke!