Summe 1 bis unendlich = -1/12
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Hi,
in diesem video wird behauptet dasgilt.
Das habe ich nicht verstanden und das widerspricht auch der einfachsten logik. Ich denke auch, dass die Umformungen die dort gemacht wurden keine gültige mathematik sind. Meiner Ansicht nach scheitert das ganze an der klammersetzung, weil dort quasi ein(wichtiges) Glied der Summe ignoriert wird.
Was meint ihr?
Ist der Beweis richtig?
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Hmmm, ich muss sagen, irgendwie hat mich das Video überzeugt.
Auch wenn ich da eher ein = und kein -> Zeichen setzen würde.
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Wieso macht man so etwas als Video, nicht als pdf? Wahrscheinlich, weil man nicht moechte, dass sich das jemand zu genau anguckt.
Ich habe mir das Video nun nicht angesehen, aber ich vermute mal, dass dort die altbekannte Regularisierung mittels der Zeta-Funktion vorgemacht wird, die tatsaechlich -1/12 fuer diese Reihe liefert. Und dann wird entweder faelschlich behauptet, dass dies "gleich" (im Sinne des Grundschulbegriffs fuer mathematische Gleichheit) dem Grenzwert der Reihe waere. Oder es wird vielleicht nicht klar genug gemacht, dass dies eher eine Zuschreibung eines endlichen Werts zu einer divergenten Reihe ist, unter Benutzung einer bestimmten Summationsmethode und daher ist der Laie verwirrt und denkt sich, dass ein "gleich" im klassischen Sinne gemeint ist. Oder der Autor des Videos ist selber ein solcher Laie, der den Beweis irgendwo gesehen hat und nun falsch wieder gibt. Jedenfalls habe ich gerade keine Lust, ein Video zu gucken, welches dieser Szenarios zutrifft.
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Das ist ein Trick. Es gibt eigentlich nur endliche Summen, alles andere ist Konvention. Üblicherweise ordnet man unendlichen Summen als Wert den Grenzwert ihrer Partialsummenfolge zu, nach der Konvention wäre -1/12 offensichtlich falsch, weil 1, 3, 6, 10, 15, ... -> unendlich geht. Sie haben jetzt also die Regeln geändert und die unendliche Summe anders definiert.
Sekundär kann man sich jetzt überlegen, ob zum einen die Behauptung, es wäre -1/12 irgendwie Sinn ergibt: Ja, über die Riemannsche Zetafunktion und analytische Fortsetzung, und ob zum anderen das gegebene Argument dafür stichhaltig ist: IMHO zumindest zweifelhaft.
In jedem Falle hat schon Euler solche Rechnungen gemacht, man kann also nicht behaupten das wäre eine neue Entdeckung, die alles über den Haufen wirft.
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Der erste Fehler ist S_1. Die Reihe konvergiert nicht. Hat keinen Grenzwert.
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Naja, man kann schon auf verschiedene Weisen zeigen, dass dieses Ergebnis heraus kommt (mit legalen Umformungen).
http://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_natural_numbers
Im Prinzip ist das halt eine "analytic continuation". In wie weit das Sinn macht, ist eine andere Frage (http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_continuation)
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Die Umformungen sind eben nicht legal, weil sie voraussetzt, dass du die Reihenformulierung noch ausserhalb ihres gültigen Intervalls schreiben darfst (offensichtlicher widerspruch).
Und umordnungen divergenter Reihen sind niemals legal. Man kann für bestimmte divergente Reihen zeigen, dass durch Umordnung jeder beliebige Wert herauskommen kann.
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Joa, da wird mit Grenzwerten rumgerechnet, die es gar nicht gibt. Klar, dass da Murks rauskommt. Es gehört damit zu "Scherzbeweisen", die sonst gerne auch mal durch 0 Teilen oder Potenzgesetze im Komplexen anwenden, die da aber nur eingeschränkt funktionieren.
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otze schrieb:
Die Umformungen sind eben nicht legal, weil sie voraussetzt, dass du die Reihenformulierung noch ausserhalb ihres gültigen Intervalls schreiben darfst (offensichtlicher widerspruch).
"legal"? Ist es polizeilich verboten, so zu rechnen?
otze schrieb:
Und umordnungen divergenter Reihen sind niemals legal.
"Niemals"!
otze schrieb:
Man kann für bestimmte divergente Reihen zeigen, dass durch Umordnung jeder beliebige Wert herauskommen kann.
Naja, aber was ist, wenn wir nicht alle Umforumungen zulassen? Weiß nicht genau, keine größeren Umsortierungen, keine Klammerungen, reicht das schon?
Hab versucht,
S1=1-1+1-1+1-1…=1/2
mit Taschenspielertricks zu widerlegen, aber wenn ich nur die Tricks verwende, die der Viedeotyp verwendet hat, erweist sie sich als erstaunlich zäh (oder ich mich als erstaunlich ungeschickt).
Ich wollte nicht aufs triviale
S1=(1-1)+(1-1)+(1-1)…=0+0+0+…=0
zurückfallen (mit größerer Umsortierung ist jede ganze Zahl möglich).S1=1-1+1-1+1-1…
-S1=-1+1-1+1-1+1…
1+-S1=1-1+1-1+1-1+1…=S1
1-S1=S1
1=2*S1
S1=1/2
Mist, schon wieder 1/2! Dauernd kommt 1/2 raus. Oder wenn ich von S1=1/2 ausgehe und zu widerlegen versuche, kommt 1=1 raus und kein Widerspruch (mit S1=1/3 oder so wäre der Widerspruch sofort da bei der kleinsten Umformung). Kann mir gut vorstellen, daß 1+2+3+4+5… eine besonders starke Tendenz hat, daß da -1/12 rauskommt.Das da wird Dich dann auch ärgern: https://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA
(Irrationale Zahlen waren auch mal illegal(=irrational), und Quadratwurzeln aus negativen Zahlen sind ja direkt geistiger Sondermüll.)
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volkard schrieb:
1+-S1=1-1+1-1+1-1+1…=S1
hier klammerst du unendlich oft um.
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volkard schrieb:
Hab versucht,
S1=1-1+1-1+1-1…=1/2
mit Taschenspielertricks zu widerlegen, aber wenn ich nur die Tricks verwende, die der Viedeotyp verwendet hat, erweist sie sich als erstaunlich zäh (oder ich mich als erstaunlich ungeschickt).Da gibts nichts zu widerlegen. Entweder du benutzt die normale Definition, dann gibt es keinen Grenzwert, oder du benutzt z.B. den Cesàro-Limes, dann ist es 1/2. Das wird in dem Video nicht gesagt, der Typ wedelt ja nur mit den Händen, aber es gibt auf Numberphile ein anderes Video zu dieser Reihe.
Nun ist 1+2+3+... nicht Cesáro-konvergent, aber vielleicht hat sich irgendwer mal ein Summierungsverfahren ausgedacht, womit das Sinn ergibt. ich seh das ähnlich wie bei den Integralen, Riemann und Lebesgue kennt jeder, und es gibt Integrale, die bei dem einen divergieren und bei dem anderen nicht, aber wenn sie beide existieren, sind sie gleich. Es gibt aber auch den Cauchy-Hauptwert, der wieder für eine bestimmte Klasse von "divergenten" Integralen funktioniert. Usw. Das Problem ist aus meiner Sicht nur, dass numberphile nicht die Regeln nennt, nach denen gespielt wird. Denen reicht es als Rechtfertigung, dass ein Physiker sagt, das sei alles furchtbar wichtig für die Stringtheorie. Schön, ich bin aber kein Physiker und würde es wenn schon gern genau wissen.
Das da wird Dich dann auch ärgern: https://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA
(Irrationale Zahlen waren auch mal illegal(=irrational), und Quadratwurzeln aus negativen Zahlen sind ja direkt geistiger Sondermüll.)15min Video, nein Danke. Das in Klammern ist kein guter Vergleich, es ist wieder ein Trick. Irrationale Zahlen befinden sich außerhalb der rationalen Zahlen, imaginäre Zahlen außerhalb der reellen Zahlen. Aber hier soll ja einer divergenten Reihe kein zusätzlich ausgedachter divergenter Pseudowert zugewiesen werden, sondern eine ganz normale reelle Zahl.
