Kann man mathematisch beweisen, dass 0,000....01 = Null ist?

[konvabs]

icarus2 schrieb:

Für $0.\bar 9 = 1$ kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

Sei $x = 0.\bar 9$. Dann ist $10x = 9.\bar 9$ und durch subtrahieren erhalten wir $9x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1$.

Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt

Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

[icarus2]

konvabs schrieb:

icarus2 schrieb:

Für $0.\bar 9 = 1$ kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

Sei $x = 0.\bar 9$. Dann ist $10x = 9.\bar 9$ und durch subtrahieren erhalten wir $9x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1$.

Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt

Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

Da steht nix von einer Reihe

[konvabs]

icarus2 schrieb:

konvabs schrieb:

icarus2 schrieb:

Für $0.\bar 9 = 1$ kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

Sei $x = 0.\bar 9$. Dann ist $10x = 9.\bar 9$ und durch subtrahieren erhalten wir $9x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1$.

Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt

Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

Da steht nix von einer Reihe

Die Implizite Annahme ist, dass 0.̅9 = 0.9+0.09+0.009+…

[icarus2]

konvabs schrieb:

icarus2 schrieb:

konvabs schrieb:

icarus2 schrieb:

Für $0.\bar 9 = 1$ kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

Sei $x = 0.\bar 9$. Dann ist $10x = 9.\bar 9$ und durch subtrahieren erhalten wir $9x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1$.

Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt

Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

Da steht nix von einer Reihe

Die Implizite Annahme ist, dass 0.̅9 = 0.9+0.09+0.009+…

Merkst du nicht worauf in hinaus will? Es geht darum, dass man einen solchen Beweis wirklich formal genau aufschreiben muss. Klar kann man so ein Argument jenachdem retten. Vielleicht kann man auch den ersten "Beweis", der hier genannt wurde retten. Aber man muss es eben exakt hinschreiben und exakt argumentieren. Alles andere ist kein Beweis.

[hustbaer]

icarus2 schrieb:

Aber man muss es eben exakt hinschreiben und exakt argumentieren. Alles andere ist kein Beweis.

Danke

[Jester]

icarus2 schrieb:

Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass $\pi = 4$ gilt etc.

Echt? Zeig mal!

[icarus2]

Jester schrieb:

icarus2 schrieb:

Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass $\pi = 4$ gilt etc.

Echt? Zeig mal!

Siehe Pi = 4. Ist im Prinzip ein intuitiv einleuchtendes Argument und ich bin mir sicher, dass dies viele als Beweis akzeptieren würden, wenn sie nicht wüssten, dass $\pi \neq 4$ gilt.

Es zeigt einfach, dass die Intuition bei unendlichen Objekten schnell versagt. Im Fall $0.\bar 3 + 0.\bar 3 = 0.\bar 6$ ist die Intuition (man denkt sich, dass es für endlich viele Stellen gilt und schliesst dann auf unendlich viele Stellen) zwar richtig, reicht aber definitiv nicht als Beweis.

[Jester]

Ich sehe das so: die dezimaldarstellung ist genau eine kurzschreibweise für die reihe. Insofern ist das vollkommen äquivalent. Natürlich sollte man sich als angehender mathematiker/informatiker mal damit auseinandersetzen und sich das klar machen und auch lernen solche beweise möglichst präzise zu führen.

Ich würde allerdings nicht so weit gehen das nun als einzig möglichen Weg zu bezeichnen und alles andere als falsch. Da stecken immerhin genau die richtigen Ideen drin, und wenn man die definition der dezimalschreibweise anwendet, ist es sogar genau richtig hingeschrieben. Ich denke da sollte man schon das richtige Maß an Formalisierung finden -- zu viel hilft auch nicht unbedingt.

[Gegen Null]

zahlabschneider schrieb:

Allgemein: $0,\overline{a}b = 0,\overline{a}$ (wobei a und b je eine beliebige Sequenz aus Ziffern ist).
Also auch $0,\overline{0}1=0$.
Beweis (für a, b einzelnen Ziffern, analog für mehrere Ziffern): 0,\overline{a}b=\lim_{n\to\infty}a\cdot(10^{-1}+10^{-2}+10^{-3}+\dots+10^{-n+1})+b\cdot 10^{-n}=a\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}=a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9, wobei $\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}=\frac 19\sum_{i=1}^\infty 9\cdot10^{-i}=\frac{0,\overline{9}}9=\frac 19$.

Dazu: $0,\overline{9}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n 9\cdot10^{-i}=\lim_{n\to\infty}1-10^{-n+1}=1-0=1$

Wie kommst du von hier:

$a\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}$

nach hier:

$a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9$

Also warum? Hier kann ich, zumindest bis jetzt, nicht mehr folgen.

Woher kommen die 1/9?
b*0 wird ja zu 0, aber du brauchst ne 1, die du am Anfang ja für b noch hast, da gilt:
$0,\overline{a}b = 0,\overline{0}1$

Ich bin verwirrt.

[otze]

icarus2 schrieb:

Siehe Pi = 4. Ist im Prinzip ein intuitiv einleuchtendes Argument und ich bin mir sicher, dass dies viele als Beweis akzeptieren würden, wenn sie nicht wüssten, dass $\pi \neq 4$ gilt.

Der Beweis scheitert aber nicht daran, "dass die Intuition für unendliche Objekte versagt", sondern dass die falsche Norm für die Raumkurve des Kreises verwendet wird. Was in dem Beweis falsch gemacht wird ist, dass in

http://de.wikipedia.org/wiki/Länge_(Mathematik)#Parameterdarstellung

die euklidische Norm durch die 1-Norm ersetzt wird. Offensichtlich muss das ein anderes Ergebnis liefern. Dass pi nach Definition des Kreisumfangs von der verwendeten Norm abhängig ist, ist aber ein recht alter Hut und wurde hier im Forum schon mehrmals thematisiert. Unabhängig davon glaube ich aber, dass der Beweis mit der verwendeten Norm richtig ist.(oder zumindest, dass das Ergebnis korrekt ist)

//edit
Zum Thema Gymnasiumsbeweise: Man muss da Abstriche machen und Beweise verwenden, die so nah wie möglich am echten Ding sind, ohne dass man die ganze Theorie mitschleppen muss, die die Schüler aus guten Gründen nicht haben.

Insofern finde ich den ltzten Beweis voll okay, wenn dazu genau besprochen wird, was mit der periode gemeint ist. Denn dann kann man dies als alternative Darstellung einer Reihe verwenden. Der Beweis hat natürlich das Problem, das unendlich oft das Distributivgesetz angewendet wird, aber das tun wir bei der expliziten Reihendarstellung auch - nur dass wir vorher noch ein beliebiges Kriterium anwenden um Konvergenz zu zeigen. Hier in diesem speziellen Fall ist aber klar, dass die Reihe konvergiert (es geht ja im Endeffekt im Gymnasiumsbereich nur um die Frage, ob das 1 ist oder irgendwas geringfügig kleineres, Konvergenz wird da vorausgesetzt).

[volkard]

otze schrieb:

Dass pi nach Definition des Kreisumfangs von der verwendeten Norm abhängig ist, ist aber ein recht alter Hut und wurde hier im Forum schon mehrmals thematisiert. Unabhängig davon glaube ich aber, dass der Beweis mit der verwendeten Norm richtig ist.(oder zumindest, dass das Ergebnis korrekt ist)

Jo, man wird schon eine Folge einbeschriebener Polygone finden können, deren Umfang streng monoton steigt und gegen 4 strebt.
~(Haha, um genau zu sein, hat man dann bewiesen, daß 3.99999…<=[e]Pi[/e]<=4, was uns zur Eingangsfrage führt.)
~

[floorball]

otze schrieb:

icarus2 schrieb:

Siehe Pi = 4. Ist im Prinzip ein intuitiv einleuchtendes Argument und ich bin mir sicher, dass dies viele als Beweis akzeptieren würden, wenn sie nicht wüssten, dass $\pi \neq 4$ gilt.

Dass pi nach Definition des Kreisumfangs von der verwendeten Norm abhängig ist, ist aber ein recht alter Hut und wurde hier im Forum schon mehrmals thematisiert. Unabhängig davon glaube ich aber, dass der Beweis mit der verwendeten Norm richtig ist.(oder zumindest, dass das Ergebnis korrekt ist)

Ok das klingt einleuchtend aber ich hab mit dem "Beweis" irgendwie noch ein Problem: Die Ecken des Quadrates werden so lange geknickt, bis das Quadrat nahezu ein Kreis ist. ==> Umfang Kreis ≈ Umfang Quadrat. Aber wie kann das sein? Mein Verstand sagt mir, das ein Quadrat das nahezu den selben Umfang wie ein Kreis hat, den Kreis nicht vollständig umschließen kann. In dem Beweis ist das aber der Fall.
Irgendwie steh ich da grad total auf dem Schlauch...

Wo ist mein Denkfehler??
floorball

[volkard]

floorball schrieb:

aber ich hab mit dem "Beweis" irgendwie noch ein Problem: Die Ecken des Quadrates werden so lange geknickt, bis das Quadrat nahezu ein Kreis ist. ==> Umfang Kreis ≈ Umfang Quadrat. Aber wie kann das sein?

Nur weil die Treppe nah dran ist, heißt das nix über ihre Länge. Bedenke, daß die Treppe sich NICHT anschmiegt und irgendwie glatter dranliegt, sondern daß sie echt rau bleibt, egal wie weit man vergrößert, sie kuschelt sich nicht an den Kreis, sondern bleibt schroff mit lauter weit abstehenden Ecken.

Um zu sagen, daß der Kreis eine bestimmte Länge hat, muss man ihn zum Beispiel von beiden Seiten angreifen wie http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl#Umbeschreibung_und_Einbeschreibung_bis_zu_96_Ecken
(Da werden übrigens die Polygone immer glatter anliegend, je mehr Ecken man hat und man entsprechend vergrößert, um noch was zu sehen http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-der-Kreiszahl-Pi-Kreiszahl )

floorball schrieb:

Mein Verstand sagt mir, das ein Quadrat das nahezu den selben Umfang wie ein Kreis hat, den Kreis nicht vollständig umschließen kann. In dem Beweis ist das aber der Fall.

Warum nicht? "Nahezu" reicht doch, um größer zu sein.

[floorball]

otze schrieb:

Der Beweis scheitert aber nicht daran, "dass die Intuition für unendliche Objekte versagt", sondern dass die falsche Norm für die Raumkurve des Kreises verwendet wird. Was in dem Beweis falsch gemacht wird ist.

volkard schrieb:

Warum nicht? "Nahezu" reicht doch, um größer zu sein.

Ich weis nicht inzwischen glaub ich das icarus2 in diesem Fall recht hatte mit seiner Behauptung

icarus2 schrieb:

Es zeigt einfach, dass die Intuition bei unendlichen Objekten schnell versagt.

Als ich den "Pi = 4 Beweis" einem Freund von mir zeigte hatte dieser eine geniale Idee (leider nicht meine )
Er hat das ganze mit einem Quadrat und seiner Diagonale gemacht. Also eine eine Ecke des Quadrates so lange und oft eingeknickt bis sie der Diagonalen entsprach. Hier mal eine Skizze
In diesem Fall lässt sich ganz klar auf das versagen der Menschlichen Vorstellungskraft im Unendlichen schließen, was den Schluss zulässt das das bei dem Kreis und dem Quadrat auch der Fall ist.

Das mich mal eine Aussage wie Pi = 4 derart beschäftigt hätte ich auch nie gedacht...

floorball

[volkard]

floorball schrieb:

Als ich den "Pi = 4 Beweis" einem Freund von mir zeigte hatte dieser eine geniale Idee (leider nicht meine )
Er hat das ganze mit einem Quadrat und seiner Diagonale gemacht. Also eine eine Ecke des Quadrates so lange und oft eingeknickt bis sie der Diagonalen entsprach. Hier mal eine Skizze

Prima, damit hat er den Kern den Problems aufgezeigt.

floorball schrieb:

In diesem Fall lässt sich ganz klar auf das versagen der Menschlichen Vorstellungskraft im Unendlichen schließen, was den Schluss zulässt das das bei dem Kreis und dem Quadrat auch der Fall ist.

Nö.
Ich habe mich schon ein wenig mit fraktaler Geometrie beschäftigt. Da ist das Anschmiegen völlig verrückt, es hat nicht nur einen ein wenig zu großen Wert wie 4, sondern gleich mal unendlich. Die eleganten Annäherungen, die man in Schulbeweisen sieht, und die zu der richtigen Zahl führen, sind nicht die Regel, sondern die Ausnahme.

Ich mag eine gewisse Intuitiuon haben, ob eine anschmiegende Näherung zur richtigen Zahl führt. Irgendwie muss sie "glatt" sein, dann passt es schon. Wenn nicht, werde ich panisch. Ähm, ja, die Intuition wächst ja mit. Nach diesem Thread sind Dir so rechtwinklige Annäherungen auch intuitiv zuwider. Ist die Annäherung offensichtlich "glatt", verzichte ich auf den Beweis, indem ich eine Annährung von oben und von unten machen müßte. Paßt schon. Computerprogramm rechnet einfach ein paar Stellen mehr aus. Habe ich Zweifel, weil sie nicht für mich offensichtlich "glatt" ist, halte ich die Klappe und lasse ich lieber die richtigen Mathematiker ran.

Das mich mal eine Aussage wie Pi = 4 derart beschäftigt hätte ich auch nie gedacht...

floorball[/quote]

[Namenloser324]

Gegen Null schrieb:

Wie kommst du von hier:

$a\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}$

nach hier:

$a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9$

Also warum? Hier kann ich, zumindest bis jetzt, nicht mehr folgen.

Woher kommen die 1/9?
b*0 wird ja zu 0, aber du brauchst ne 1, die du am Anfang ja für b noch hast, da gilt:
$0,\overline{a}b = 0,\overline{0}1$

Ich bin verwirrt.

Geometrische Summenformel. Summe (bzw. genauer der Grenzwert der Partialsummen) von q^n mit n von Null bis unendlich ist 1/(1-q) für q < 1.
Startet n bei 1 zieht man natürlich q^0 = 1 ab.
-> Summe (1/10)^n mit n von 1 bis unendlich ist 1/(1-1/10) - 1
= 10/9 - 1 = 1/9

[JFB]

@Pi = 4: Das Quadrat schmiegt sich meiner Ansicht nach schon glatt an. Wenn ich oft genug knicke, kann ich den Abstand zwischen Kreis und "Quadrat" beliebig drücken, und zwar nicht nur punktweise, sondern gleichmäßig (zumindest sagt mir das meine Intuition...).

Und das ist auch kein Widerspruch. Das Quadrat hat immer einen Umfang von 4, der Kreis einen Umfang von Pi. Das ist die Ausgangslage. Es sind zwei verschiedene Kurven, das kann sein.

Dass die Umfänge damit auch "im Grenzwert" unterschiedlich sind (sie sind ja immerhin konstant), zeigt nicht, dass das Quadrat nicht gegen den Kreis konvergiert, sondern lediglich, dass Grenzwertbildung und Umfang nicht vertauschbar sind.

Wenn man das vorher weiß, ist das imho das Argument, mit dem man den "Beweis" von Pi = 4 kaputt machen kann.

[Bashar]

JFB schrieb:

@Pi = 4: Das Quadrat schmiegt sich meiner Ansicht nach schon glatt an.

Ich glaube mit "glatt" ist hier schon sowas wie "ohne Ecken" gemeint. Natürlich ist auch ein Polygonzug nicht differenzierbar, deshalb in Anführungsstrichen.

Dass die Umfänge damit auch "im Grenzwert" unterschiedlich sind (sie sind ja immerhin konstant), zeigt nicht, dass das Quadrat nicht gegen den Kreis konvergiert, sondern lediglich, dass Grenzwertbildung und Umfang nicht vertauschbar sind.

Jepp, die Bogenlänge ist offenbar intuitiv keine stetige Abbildung. (Wobei ich gerade nicht wirklich weiß, wie ich die Metrik definieren würde. Vielleicht als quadrierte Fläche zwischen zwei Kurven mit gleichem Anfangs- und Endpunkt.)

Wenn man das vorher weiß, ist das imho das Argument, mit dem man den "Beweis" von Pi = 4 kaputt machen kann.

Oder man kennt die Definition der Bogenlänge siehe otzes Posting.

[otze]

JFB schrieb:

@Pi = 4: Das Quadrat schmiegt sich meiner Ansicht nach schon glatt an. Wenn ich oft genug knicke, kann ich den Abstand zwischen Kreis und "Quadrat" beliebig drücken, und zwar nicht nur punktweise, sondern gleichmäßig (zumindest sagt mir das meine Intuition...).

Ne, genau das gleichmäßig passiert nicht. Wenn du die Anzahl der Knicke vergrößerst, reduzierst du zwar das Volumen, aber gleichzeitig fügst du eine weitere Unstetigkeit zu. Das Problem ist nun, dass bereits bestehende unstetigkeiten nicht "glatter" werden.

Schau dir mal im Vergleich dazu das Kreis mit dem einbeschriebenen Polygon an (dh. du verteilst n Punkte gleichmäßig auf dem Kreisrand und verbindest benachbarte Punkte mit einer Gerade). An jedem der n Punkte ist die Steigung unstetig. Aber du kannst jetzt zwischen jedem tripel benachbarter Punkte den Winkel der geraden messen. Wenn du das machst und die Anzahl der Punkte vergrößerst, dann bemerkst du, dass der Winkel an jedem Punkt "flacher" wird. im limes geht der Winkel gegen 180° - die Abbildung wird stetig.

Genau dies passiert in diesem Fall hier nicht. Im Gegenteil, mit jedem schritt wird die Abbildung rauer. Im limes ist die Funktion dann an keinem Punkt mehr differenzierbar.

//edit Generell ist es hilfreich, wnen man sich davon verabschiedet, dass Volumen und Umfang für Objekte irgendwas miteinander zu tun haben. Stichwort raumfüllende Kurven. Volkard hatte das schon angesprochen, aber das Stichwort hilft vielleicht nochmal weiter

[Bashar]

Du solltest nochmal nachschlagen, was gleichmäßig und was stetig heißt.