Singuläre Funktionen
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Hallo,
kann mir jemand ein Beispiel für eine Funktion von R^n -> R geben, die in einer Umgebung U um einen gewissen Punkt zwar differenzierbar ist, aber dort auch gegen Unendlich geht, also nicht durch eine Konstante nach oben begrenzt wird? Ich könnte mir das nur so erklären, dass der Rand der Umgebung gerade die Singularität ist, allerdings könnte ich dann auch einfach die Umgebung etwas kleiner machen, und schon wäre die Funktion in der Umgebung begrenzt.Es geht hierbei um die Stabilitätssätze nach Ljapunov und dort wird für Stabilität gefordert, dass die Ljapunov-Funktion nicht nur differenzierbar in einer (offenen) Umgebung ist, positiv definit und ihre Ableitung negativ (semi-)-definit, sondern dass sie in dem Bereich auch im Funktionswert nach oben begrenzt sein muss.
Nur irgendwie habe ich den Eindruck, dass die Differenzierbarkeit nur für den Fall, dass die singuläre Ställe auf dem Rand liegt, nicht impliziert, dass die Funktion nach oben begrenzt ist. Allerdings, wie schon oben gesagt, könnte ich dann die Umgebung auch einfach ein klitzekleines Stück kleiner machen, und schon ist die Sache als "stabil" zu betrachten.Wo verdenke ich mich, könnt ihr mir helfen?
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Ställe => Stelle ... Gestern habe ich schon y statt ü benutzt, Altersdemenz setzt ein!
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Funktionslos schrieb:
kann mir jemand ein Beispiel für eine Funktion von R^n -> R geben, die in einer Umgebung U um einen gewissen Punkt zwar differenzierbar ist, aber dort auch gegen Unendlich geht, also nicht durch eine Konstante nach oben begrenzt wird?
wenn in jeder epsilon-Umgebung von x mit epsilon = 1/n ein Punkt (nennen wir ihn x_n und nehmen wir an x_n > x) liegt mit f(x_n) > n, dann gelten
f(x_n) - f(x) > n - f(x)
und
0 < (x_n - x) < 1/n
also gilt für die Folge der Differenzenquotienten
(f(x_n) - f(x)) / (x_n - x) > n*(n-f(x))
und das konvergiert mit steigendem n gegen oo, weil f(x) endlich ist.
Also existiert auch der Diffentialquotient df(x)/dx (das wäre der Grenzwert der Differenzenquotienten) an dieser Stelle nicht.