kartesisches produkt unendlich vieler mengen

[Fytch]

hallo

auf wikipedia steht:
\prod_{i \in I} A\_i = \Big\{ f \colon I \to \bigcup\_{i \in I} A\_i \mid f(i) \in A\_i ~\text{für}~ i \in I \Big\}

das verstehe ich nicht ganz.
also $I$ ist die indexmenge und $A$ ist die mengenfamilie. dann müsste meiner vorstellung nach das kartesische produkt alle tupel enthalten, die an der $n$-ten stelle ein element aus $A_i$ haben (wobei $A_i$ das $n$-te element aus $A$ ist).

dafür brauche ich eine injektion $f:\mathbb{N}\rightarrow I$. (ich weiss nicht wie man die formal aufschreibt. induktiv vielleicht?)

sollte ich diese funktion haben, so würde ich das kartesische produkt wie folgt formalisieren:
$\prod_{i \in I} A\_i = \Big\{(x\_1, x\_2, ...)\:|\:x\_n\in A_{f(n)} \Big\}$

1. wieso will wikipedia das kartesische produkt als menge von abbildungen definieren und nicht analog weiter als menge von ∞-tupeln?
2. wie definiere ich eine solche funktion f die für beliebige $n$ injektiv ein element $\in I$ ergibt?
3. was ist an meiner formalisierung falsch?

danke im voraus und gruss

edit: wieso sind die latex-formeln hier so klein und auf wikipedia / im editor so schön gross? kann man das hier irgendwie anpassen?

[Jester]

die Schreibweise mit "..." stößt an ihre Grenzen wenn man Indexmengen hat, die nicht mehr abzählbar sind. Du kannst dann zum Beispiel keine Produkträume mit Indexmenge R (reelle Zahlen) hinschreiben.

Ein n-tupel ist ja im Prinzip nichts anderes als eine Abbildung von {1,...,n} in eine Zielmenge. Ein abzählbar unendliches Tupel ist eine Abbildung von N in eine Zielmenge, und ganz allgemein nimmt man halt einfach irgendeine Abbildung. Injektiv muss diese übrigens nicht sein. Wenn Du den Produktraum von gleichen Faktoren nimmst, darf ja durchaus derselbe Wert an mehren Stellen im Tupel auftauchen. Das sollte auf jeden Fall Fragen 1 und 3 beantworten.

Bei Frage 2 bin ich mir nicht ganz sicher was Du genau wissen willst. Die Abbildung liefert Dir jeden Index i ein Element aus A_i. Da wir aber eine einzige Abbildung haben wollen, die für jeden möglichen Indexwert funktioniert, bilden wir halt in die Vereinigung der A_i ab, fordern aber, dass f(i) in A_i liegt.
So eine Funktion kannst Du im allgemeinen gar nicht mehr definieren. Das Auswahlaxiom besagt aber genau, dass es solche Funktionen immer gibt. Deshalb braucht man das Auswahlaxiom für die Existenz von unendlichen Produkten.

[Fytch]

Jester schrieb:

die Schreibweise mit "..." stößt an ihre Grenzen wenn man Indexmengen hat, die nicht mehr abzählbar sind. Du kannst dann zum Beispiel keine Produkträume mit Indexmenge R (reelle Zahlen) hinschreiben.

leider weiss ich nicht was ein produktraum ist. ist das das ergebnis des kartesischen produktes? (ich bin noch nicht so gut in mathematik)

Jester schrieb:

Ein n-tupel ist ja im Prinzip nichts anderes als eine Abbildung von {1,...,n} in eine Zielmenge. Ein abzählbar unendliches Tupel ist eine Abbildung von N in eine Zielmenge, und ganz allgemein nimmt man halt einfach irgendeine Abbildung. Injektiv muss diese übrigens nicht sein. Wenn Du den Produktraum von gleichen Faktoren nimmst, darf ja durchaus derselbe Wert an mehren Stellen im Tupel auftauchen. Das sollte auf jeden Fall Fragen 1 und 3 beantworten.

ah, so hab ich ein tupel noch nie betrachtet. ergibt aber auf jeden fall sinn.

Jester schrieb:

Bei Frage 2 bin ich mir nicht ganz sicher was Du genau wissen willst. Die Abbildung liefert Dir jeden Index i ein Element aus A_i. Da wir aber eine einzige Abbildung haben wollen, die für jeden möglichen Indexwert funktioniert, bilden wir halt in die Vereinigung der A_i ab, fordern aber, dass f(i) in A_i liegt.
So eine Funktion kannst Du im allgemeinen gar nicht mehr definieren. Das Auswahlaxiom besagt aber genau, dass es solche Funktionen immer gibt. Deshalb braucht man das Auswahlaxiom für die Existenz von unendlichen Produkten.

achso, jetzt ergibt die definition auf wikipedia endlich sinn für mich. ist dann das kartesische produkt unendlich vieler mengen gleich mächtig wie die indexmenge?

was ich eigentlich mit 2. meinte:
ich kann zwischen den mengen $A=\left \{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \right \}$ und $B=\left \{ x\: |\: (x\in \mathbb{N})\wedge (x\leq 4) \right \}$ eine bijektion mit z.b. einer fallunterscheidung machen. die frage war (nun bisschen anders gestellt), wie ich zwischen den mengen $C$ und $D$ eine bijektion definiere, wenn ich lediglich weiss, dass $\left | A \right |=\left | B \right | \geq \left | \mathbb{N} \right |$.
edit: 2. wurde natürlich schon beantwortet...

4. ich sehe des öfteren solche dinge wie dieses "für" in f(i) \in A_i ~\text{für}~ i \in I. kann ich nicht einfach $(f(i) \in A_i) \wedge (i \in I)$ oder $i \in I: f(i) \in A_i$ schreiben?

[Bashar]

asfdlol schrieb:

leider weiss ich nicht was ein produktraum ist. ist das das ergebnis des kartesischen produktes? (ich bin noch nicht so gut in mathematik)

Ich nehme an, Jester spricht vom Produkt topologischer Räume. Das Produkt topologischer Räume ist in der Tat das kartesische Produkt der unterliegenden Mengen dieser Räume zusammen mit der Produkttopologie.

ist dann das kartesische produkt unendlich vieler mengen gleich mächtig wie die indexmenge?

Nein: $\{1\}^\mathbb{N}$ hat bspw. nur 1 Element, $\mathbb{R}^{\{1\}}$ ist überabzählbar, $\{0,1\}^\mathbb{N}$ auch. (Notation: $A^I := \prod_{i\in I} A$.)

was ich eigentlich mit 2. meinte:
ich kann zwischen den mengen $A=\left \{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \right \}$ und $B=\left \{ x\: |\: (x\in \mathbb{N})\wedge (x\leq 4) \right \}$ eine bijektion mit z.b. einer fallunterscheidung machen. die frage war (nun bisschen anders gestellt), wie ich zwischen den mengen $C$ und $D$ eine bijektion definiere, wenn ich lediglich weiss, dass $\left | A \right |=\left | B \right | \geq \left | \mathbb{N} \right |$.

Wenn du nichts über die Mengen weißt, kannst du auch nichts definieren. Wenn du aber weißt, dass $\left | A \right |=\left | B \right | \geq \left | \mathbb{N} \right |$, dann weißt du, dass es per Definition der Kardinalität Abbildungen $f : A \to B$, $g : B \to \mathbb{N}$ gibt, wobei f bijektiv und g surjektiv sind, auch wenn du die Abbildungen nicht hinschreiben kannst.

4. ich sehe des öfteren solche dinge wie dieses "für" in f(i) \in A_i ~\text{für}~ i \in I. kann ich nicht einfach $(f(i) \in A_i) \wedge (i \in I)$ oder $i \in I: f(i) \in A_i$ schreiben?

Formal ist das $\forall i\in I: f(i) \in A_i$, aber man muss ja nicht alles mit Formeln zukleistern. Mathematiker sind keine Computer.

[Fytch]

Bashar schrieb:

was ich eigentlich mit 2. meinte:
ich kann zwischen den mengen $A=\left \{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \right \}$ und $B=\left \{ x\: |\: (x\in \mathbb{N})\wedge (x\leq 4) \right \}$ eine bijektion mit z.b. einer fallunterscheidung machen. die frage war (nun bisschen anders gestellt), wie ich zwischen den mengen $C$ und $D$ eine bijektion definiere, wenn ich lediglich weiss, dass $\left | A \right |=\left | B \right | \geq \left | \mathbb{N} \right |$.

Wenn du nichts über die Mengen weißt, kannst du auch nichts definieren. Wenn du aber weißt, dass $\left | A \right |=\left | B \right | \geq \left | \mathbb{N} \right |$, dann weißt du, dass es per Definition der Kardinalität Abbildungen $f : A \to B$, $g : B \to \mathbb{N}$ gibt, wobei f bijektiv und g surjektiv sind, auch wenn du die Abbildungen nicht hinschreiben kannst.

ja, da ist mir ein kleines missgeschick unterlaufen. ich wollte eigentlich $\left | C \right |=\left | D \right | \geq \left | \mathbb{N} \right |$ schreiben. hat sich aber schon geklärt da du schon gesagt hast, dass man diese abbildung nicht hinschreiben kann.

sonst sind alle fragen für den moment geklärt, danke.