Pi schriftlich berechnen?

[Formelsucher]

Hallo,

ich habe bereits im Internet gesucht, es scheint für die Berechnung der Zahl Pi soviele Formeln wie Sand am Meer zu geben.
Dabei scheint es, als wäre ein Teil der neueren Formeln eher für Computer-Berechnungen vorgesehen.
Ich suche eine Formel, mit der man (ohne Computer) Pi möglichst genau berechnen kann, und zwar beliebig viele Nachkommastellen, auch wenns viel Zeit in Anspruch nehmen sollte.

Ich habe gehört, dass es Mathematikern bereits vor hunderten von Jahren gelang, viele Nachkommastellen von Pi genau zu berechnen, und zwar ohne Computer.

Ich suche nun eine Formel, die hierfür geeignet ist.

[SeppJ]

Formelsucher schrieb:

Ich habe gehört, dass es Mathematikern bereits vor hunderten tausenden von Jahren gelang, viele Nachkommastellen von Pi genau zu berechnen, und zwar ohne Computer.

FTFY. Aber da das Berechnen des Flächeninhalts von Vielecken etwas umständlich ist, habe ich mal Wikipedia bemüht und folgende einfache Reihen entdeckt:
\frac {\pi}{4} = 1 - \frac 13 + \frac 15 - \frac 17 + \frac 19 - \dots
\pi = 3 + \frac{4}{2\times 3 \times 4} - \frac{4}{4\times 5 \times 6} + \frac{4}{6\times 7 \times 8} - \frac{4}{8\times 9 \times 10} - \dots

[Formelsucher]

Einfach verständlich, allerdings deshalb nicht einfach in der Handhabung.
Schon in der ersten Formel finden sich Brüche, mit denen man ohne Taschenrechner nicht richtig weiterkommt, z. B. 1/9. Das heißt dann: Am Ende muss ich alle Brüche auf den Hauptnenner bringen usw. Nicht sehr effizient.

Ich dachte eigentlich an Iterations-Formeln.

[Formelsucher]

Hier eine gute Übersicht:
http://www.pi314.net/eng/accueilformules.php

Es gibt nur soviele Formeln, ich will eben die geeignete finden.

[SeppJ]

Dir kann man nicht helfen. Wenn du Bruchrechnen auf dem Papier nicht kannst (1/9 macht dir Probleme? Die Terme, die ich ausgeschrieben habe, kann ein begabter Siebtklässler im Kopf berechnen! Es ist 263/315^*), dann sind alle anderen Verfahren erst recht nichts. Hier ist eine Reihe, mit der du Pi auf 50 Stellen berechnen kannst:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...

^*: Wenn das jetzt falsch ist, ist das peinlich :p

[Chapeau]

SeppJ schrieb:

Dir kann man nicht helfen. Wenn du Bruchrechnen auf dem Papier nicht kannst (1/9 macht dir Probleme? Die Terme, die ich ausgeschrieben habe, kann ein begabter Siebtklässler im Kopf berechnen! Es ist 263/315^*), dann sind alle anderen Verfahren erst recht nichts. Hier ist eine Reihe, mit der du Pi auf 50 Stellen berechnen kannst:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...

^*: Wenn das jetzt falsch ist, ist das peinlich :p

Aha, du kannst also Null komma Periode 1 (= 1/9) kannst du also im Kopf ausrechnen?
Das ist dann wohl so eine Art Quantencomputergehirn, wenn du unendlich viele Nachkommastellen im Kopf ausrechnen kannst.

Chapeau, ich kann das nicht.
Und Brüche wie 1/42 usw. kannst du natürlich auch im Kopf, was?
Runden darst du natürlich nicht, weil sonst davon auszugehen wäre, dass bei sovielen Brüchen (und sovielen Rundungen) das Endergebnis verfälscht ist.

Vielleicht solltest du dich der Wissenschaft zu erkennen geben!

[Namenloser324]

Hä? Nur ein Anfänger würde versuchen unmittelbar die Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln.

Erst alle interessierenden Summanden addieren mittels "auf einen Nenner bringen". Anschließend den erhaltenen Bruch in Dezimalzahl umwandeln (oder auch nicht, ist schließlich äquivalent).

Dein Einwand ist etwas albern wie du siehst.

[Formelsucher]

Namenloser324 schrieb:

Hä? Nur ein Anfänger würde versuchen unmittelbar die Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln.

Erst alle interessierenden Summanden addieren mittels "auf einen Nenner bringen". Anschließend den erhaltenen Bruch in Dezimalzahl umwandeln (oder auch nicht, ist schließlich äquivalent).

Dein Einwand ist etwas albern wie du siehst.

Richtig, ich wollte aber am Anfang die Brüche auf den Hauptnenner bringen. Entweder so - oder man muss eben die Brüche in eine Dezimalzahl umwandeln, wobei ersteres bei n-Brüchen schwer ist, und zweiteres bei vielen Brüchen unmöglich ist (z. B. bei 1/9).

Wie gesagt, warum sollte man ausgerechnet DIESE Methode verwenden, um Pi zu berechnen? Es gibt genug Alternativen, die meisten sind Iterations-Formeln, mit denen man solche Probleme eben nicht hat.

Außerdem ist die von SeppJ gepostete Formel in Wirklichkeit eine Iterationsformel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe
Wobei SeppJs Schreibweise der Formel die Sache eher kompliziert als vereinfacht.

Und wie gesagt, hier gibts mehr als genug Alternativformeln:
http://www.pi314.net/eng/methana.php

[Formelsucher]

Interessant ist z. B. auch die Newton-Formel zur Berechnung von Pi:
http://www.pi314.net/eng/newton.php

[SeppJ]

Formelsucher schrieb:

Richtig, ich wollte aber am Anfang die Brüche auf den Hauptnenner bringen. Entweder so - oder man muss eben die Brüche in eine Dezimalzahl umwandeln, wobei ersteres bei n-Brüchen schwer ist, und zweiteres bei vielen Brüchen unmöglich ist (z. B. bei 1/9).

Wenn du nicht rechnen kannst ohne Taschenrechner, dann ist das dein Problem, wenn du nach Rechenformeln für ohne Taschenrechner fragst. In Dezimalzahlen zu rechnen ist eine dumme Idee, auf die man nur kommt, wenn man von lebenslanger Taschenrechnernutzung geschädigt ist.

Außerdem ist die von SeppJ gepostete Formel in Wirklichkeit eine Iterationsformel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe

Das ist keine iterationsformel und dein Link bestätigt dies auch. Weißt du überhaupt, was Iteration bedeutet?

Und wie gesagt, hier gibts mehr als genug Alternativformeln:
http://www.pi314.net/eng/methana.php

Da du ja anscheinend doch selber googeln, kannst: Was ist deine Frage?

[Formelsucher]

SeppJ schrieb:

Das ist keine iterationsformel und dein Link bestätigt dies auch. Weißt du überhaupt, was Iteration bedeutet?

Ich korrigiere mich: es ist eine Summenformel.

SeppJ schrieb:

Da du ja anscheinend doch selber googeln, kannst: Was ist deine Frage?

Meine Frage lautet nach wie vor:

Formelsucher schrieb:

Ich habe gehört, dass es Mathematikern bereits vor hunderten von Jahren gelang, viele Nachkommastellen von Pi genau zu berechnen, und zwar ohne Computer.

Ich suche nun eine Formel, die hierfür geeignet ist.

[Namenloser324]

Und diese Formel hat doch SeppJ schon genannt. Zum einen sind die Glieder die von SeppJ unmittelbar angegeben worden sind nicht schwer im Kopf zu berechnen, zum anderen waren die Leute die das intensiver gemacht haben besser im Kopf rechnen, denke ich mal, denn offenkundig gibt es (funktionierende ;)) Rechenmaschinen noch nicht so lange.

In der Zeit in der du hier über die Kompliziertheit gemault hast hättest du schon längst bei der ~20ten Nachkommastelle sein können.

[SeppJ]

Namenloser324 schrieb:

Und diese Formel hat doch SeppJ schon genannt. Zum einen sind die Glieder die von SeppJ unmittelbar angegeben worden sind nicht schwer im Kopf zu berechnen, zum anderen waren die Leute die das intensiver gemacht haben besser im Kopf rechnen, denke ich mal, denn offenkundig gibt es (funktionierende ;)) Rechenmaschinen noch nicht so lange.

Es braucht ja nicht einmal im Ko[pf sein. Fuer jedes Glied reichen drei schriftliche Multiplikationen und eine Addition (Kuerzen ist was fuer Weicheier! ). Reine Konzentrationssache.

[Columbo]

SeppJ schrieb:

\pi = 3 + \frac{4}{2\times 3 \times 4} - \frac{4}{4\times 5 \times 6} + \frac{4}{6\times 7 \times 8} - \frac{4}{8\times 9 \times 10} - \dots

Ich will!

$\pi = 3 + \frac{1}{6} - \frac{1}{30} + \frac{1}{ 7 \times 12} - \frac{1}{ 9 \times 20}$
$\pi = 3 + \frac{4}{30} + \frac{1}{84} - \frac{1}{180}$
Nun $lcm(30, 84, 180)$ ausrechnen:

lcm(30, 84, 180) = \frac{30\*84\*180}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{84\*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{(10\*8 + 4)*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 400000 + 32000 + 21600 }{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 453600 }{gcd(30, 84)} = \frac{ 453600 }{2} = 226800

$\pi = 3 + \frac{84*360 + 2700 - 1260}{226800}$
$\pi = 3 + \frac{84*360 + 1440}{226800}$

Und jetzt geht die beschissene Kopfmultiplikation von vorne los. Und ich habe wahrscheinlich schon diverse Fehler gemacht... wie zum Teufel hat SeppJ das hinbekommen?

Aber halt! Ich merke gerade, du hast gar nicht die Reihe ausgerechnet, sondern die darüber. kopf->tisch

[volkard]

Arcoth schrieb:

SeppJ schrieb:

\pi = 3 + \frac{4}{2\times 3 \times 4} - \frac{4}{4\times 5 \times 6} + \frac{4}{6\times 7 \times 8} - \frac{4}{8\times 9 \times 10} - \dots

Ich will!

$\pi = 3 + \frac{1}{6} - \frac{1}{30} + \frac{1}{ 7 \times 12} - \frac{1}{ 9 \times 20}$
$\pi = 3 + \frac{4}{30} + \frac{1}{84} - \frac{1}{180}$
Nun $lcm(30, 84, 180)$ ausrechnen:

lcm(30, 84, 180) = \frac{30\*84\*180}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{84\*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{(10\*8 + 4)*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 400000 + 32000 + 21600 }{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 453600 }{gcd(30, 84)} = \frac{ 453600 }{2} = 226800

$\pi = 3 + \frac{84*360 + 2700 - 1260}{226800}$
$\pi = 3 + \frac{84*360 + 1440}{226800}$

Und jetzt geht die beschissene Kopfmultiplikation von vorne los. Und ich habe wahrscheinlich schon diverse Fehler gemacht... wie zum Teufel hat SeppJ das hinbekommen?

Aber halt! Ich merke gerade, du hast gar nicht die Reihe ausgerechnet, sondern die darüber. kopf->tisch

wtf.
erweitere doch einfach so lange mit den benötigten primfaktoren, bis du den hauptnenner (nur 1260) erwischt.

3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10)
= //primfaktoren gruppieren
3 + 4/(8*3) - 4/(8*3*5) + 4/(16*3*7) - 4/(16*9*5)
= //4 kürzen
3 + 1/(2*3) - 1/(2*3*5) + 1/(4*3*7) - 1/(4*9*5)
= //4 in den nenner
3 + 1*2/(4*3) - 1*2/(4*3*5) + 1/(4*3*7) - 1/(4*9*5)
= //9 in die nenner
3 + 1*2*3/(4*9) - 1*2*3/(4*9*5) + 1*3/(4*9*7) - 1/(4*9*5)
= //5 in die nenner
3 + 1*2*3*5/(4*9*5) - 1*2*3/(4*9*5) + 1*3*5/(4*9*5*7) - 1/(4*9*5)
= //7 in die nenner
3 + 1*2*3*5*7/(4*9*5*7) - 1*2*3*7/(4*9*5*7) + 1*3*5/(4*9*5*7) - 1*7/(4*9*5*7)
= //erst jetzt wird kopfrechnig
1*2*3*5*7=...5*7->35*2->70*3->210
4*9*5*7=...5*7->35*4->140*9->1260
(alternativ) 4*9*5*7=...4*9->36,5*7->35,35^2->1225+35->1260
1*2*3*7=42
1*3*5=15
1*7=7
= //puh, geschafft
3 + 210/1260 - 42/1260 + 15/1260 - 7/1260
= //210-42->168+15->183-7->174
3+174/1260

[Columbo]

volkard schrieb:

erweitere doch einfach so lange mit den benötigten primfaktoren, bis du den hauptnenner (nur 1260) erwischt.

Ich denke bei Bruchrechnung leider nicht in Primfaktoren.

Sollte ich mir angewöhnen.

[volkard]

Arcoth schrieb:

Ich denke bei Bruchrechnung leider nicht in Primfaktoren.
Sollte ich mir angewöhnen.

Vielleicht eher beim lcm aka kgv schon, der ging nämlich in die Hose. Du hättest den bekannte Trick für lcm(a,b) nicht auf drei Parameter ausdehnen dürfen, fürchte ich.

lcm(30,84,180)

lcm(2*15,12*7,10*9)

lcm(2*3*5,2*2*3*7,2*3*3*5)
= //max exponenten der primpaktorpotenzen
lcm(2*2*3*3*5*7)
=1260

[Kreis]

Formelsucher schrieb:

Ich habe gehört, dass es Mathematikern bereits vor hunderten von Jahren gelang, viele Nachkommastellen von Pi genau zu berechnen, und zwar ohne Computer.

Ich suche nun eine Formel, die hierfür geeignet ist.

Wenn Du Dich mit den Anfängen der Kreisberechnung beschäftigtst, findest Du auch das, was Du suchst.