Pi schriftlich berechnen?
-
Interessant ist z. B. auch die Newton-Formel zur Berechnung von Pi:
http://www.pi314.net/eng/newton.php
-
Formelsucher schrieb:
Richtig, ich wollte aber am Anfang die Brüche auf den Hauptnenner bringen. Entweder so - oder man muss eben die Brüche in eine Dezimalzahl umwandeln, wobei ersteres bei n-Brüchen schwer ist, und zweiteres bei vielen Brüchen unmöglich ist (z. B. bei 1/9).
Wenn du nicht rechnen kannst ohne Taschenrechner, dann ist das dein Problem, wenn du nach Rechenformeln für ohne Taschenrechner fragst. In Dezimalzahlen zu rechnen ist eine dumme Idee, auf die man nur kommt, wenn man von lebenslanger Taschenrechnernutzung geschädigt ist.
Außerdem ist die von SeppJ gepostete Formel in Wirklichkeit eine Iterationsformel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-ReiheDas ist keine iterationsformel und dein Link bestätigt dies auch. Weißt du überhaupt, was Iteration bedeutet?
Und wie gesagt, hier gibts mehr als genug Alternativformeln:
http://www.pi314.net/eng/methana.phpDa du ja anscheinend doch selber googeln, kannst: Was ist deine Frage?
-
SeppJ schrieb:
Das ist keine iterationsformel und dein Link bestätigt dies auch. Weißt du überhaupt, was Iteration bedeutet?
Ich korrigiere mich: es ist eine Summenformel.
SeppJ schrieb:
Da du ja anscheinend doch selber googeln, kannst: Was ist deine Frage?
Meine Frage lautet nach wie vor:
Formelsucher schrieb:
Ich habe gehört, dass es Mathematikern bereits vor hunderten von Jahren gelang, viele Nachkommastellen von Pi genau zu berechnen, und zwar ohne Computer.
Ich suche nun eine Formel, die hierfür geeignet ist.
-
Und diese Formel hat doch SeppJ schon genannt. Zum einen sind die Glieder die von SeppJ unmittelbar angegeben worden sind nicht schwer im Kopf zu berechnen, zum anderen waren die Leute die das intensiver gemacht haben besser im Kopf rechnen, denke ich mal, denn offenkundig gibt es (funktionierende ;)) Rechenmaschinen noch nicht so lange.
In der Zeit in der du hier über die Kompliziertheit gemault hast hättest du schon längst bei der ~20ten Nachkommastelle sein können.
-
Namenloser324 schrieb:
Und diese Formel hat doch SeppJ schon genannt. Zum einen sind die Glieder die von SeppJ unmittelbar angegeben worden sind nicht schwer im Kopf zu berechnen, zum anderen waren die Leute die das intensiver gemacht haben besser im Kopf rechnen, denke ich mal, denn offenkundig gibt es (funktionierende ;)) Rechenmaschinen noch nicht so lange.
Es braucht ja nicht einmal im Ko[pf sein. Fuer jedes Glied reichen drei schriftliche Multiplikationen und eine Addition (Kuerzen ist was fuer Weicheier!
). Reine Konzentrationssache.
-
SeppJ schrieb:
\pi = 3 + \frac{4}{2\times 3 \times 4} - \frac{4}{4\times 5 \times 6} + \frac{4}{6\times 7 \times 8} - \frac{4}{8\times 9 \times 10} - \dots
Ich will!
lcm(30, 84, 180) = \frac{30\*84\*180}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{84\*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{(10\*8 + 4)*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 400000 + 32000 + 21600 }{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 453600 }{gcd(30, 84)} = \frac{ 453600 }{2} = 226800
Nun ausrechnen:
Und jetzt geht die beschissene Kopfmultiplikation von vorne los. Und ich habe wahrscheinlich schon diverse Fehler gemacht... wie zum Teufel hat SeppJ das hinbekommen?
Aber halt! Ich merke gerade, du hast gar nicht die Reihe ausgerechnet, sondern die darüber. kopf->tisch
-
Arcoth schrieb:
SeppJ schrieb:
\pi = 3 + \frac{4}{2\times 3 \times 4} - \frac{4}{4\times 5 \times 6} + \frac{4}{6\times 7 \times 8} - \frac{4}{8\times 9 \times 10} - \dots
Ich will!
lcm(30, 84, 180) = \frac{30\*84\*180}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{84\*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{(10\*8 + 4)*5400}{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 400000 + 32000 + 21600 }{gcd(30, 84, 180)} = \frac{ 453600 }{gcd(30, 84)} = \frac{ 453600 }{2} = 226800
Nun ausrechnen:
Und jetzt geht die beschissene Kopfmultiplikation von vorne los. Und ich habe wahrscheinlich schon diverse Fehler gemacht... wie zum Teufel hat SeppJ das hinbekommen?
Aber halt! Ich merke gerade, du hast gar nicht die Reihe ausgerechnet, sondern die darüber. kopf->tisch
wtf.
erweitere doch einfach so lange mit den benötigten primfaktoren, bis du den hauptnenner (nur 1260) erwischt.3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) = //primfaktoren gruppieren 3 + 4/(8*3) - 4/(8*3*5) + 4/(16*3*7) - 4/(16*9*5) = //4 kürzen 3 + 1/(2*3) - 1/(2*3*5) + 1/(4*3*7) - 1/(4*9*5) = //4 in den nenner 3 + 1*2/(4*3) - 1*2/(4*3*5) + 1/(4*3*7) - 1/(4*9*5) = //9 in die nenner 3 + 1*2*3/(4*9) - 1*2*3/(4*9*5) + 1*3/(4*9*7) - 1/(4*9*5) = //5 in die nenner 3 + 1*2*3*5/(4*9*5) - 1*2*3/(4*9*5) + 1*3*5/(4*9*5*7) - 1/(4*9*5) = //7 in die nenner 3 + 1*2*3*5*7/(4*9*5*7) - 1*2*3*7/(4*9*5*7) + 1*3*5/(4*9*5*7) - 1*7/(4*9*5*7) = //erst jetzt wird kopfrechnig 1*2*3*5*7=...5*7->35*2->70*3->210 4*9*5*7=...5*7->35*4->140*9->1260 (alternativ) 4*9*5*7=...4*9->36,5*7->35,35^2->1225+35->1260 1*2*3*7=42 1*3*5=15 1*7=7 = //puh, geschafft 3 + 210/1260 - 42/1260 + 15/1260 - 7/1260 = //210-42->168+15->183-7->174 3+174/1260
-
volkard schrieb:
erweitere doch einfach so lange mit den benötigten primfaktoren, bis du den hauptnenner (nur 1260) erwischt.
Ich denke bei Bruchrechnung leider nicht in Primfaktoren.
Sollte ich mir angewöhnen.
-
Arcoth schrieb:
Ich denke bei Bruchrechnung leider nicht in Primfaktoren.
Sollte ich mir angewöhnen.Vielleicht eher beim lcm aka kgv schon, der ging nämlich in die Hose. Du hättest den bekannte Trick für lcm(a,b) nicht auf drei Parameter ausdehnen dürfen, fürchte ich.
lcm(30,84,180)
lcm(2*15,12*7,10*9)
lcm(2*3*5,2*2*3*7,2*3*3*5)
= //max exponenten der primpaktorpotenzen
lcm(2*2*3*3*5*7)
=1260
-
Formelsucher schrieb:
Ich habe gehört, dass es Mathematikern bereits vor hunderten von Jahren gelang, viele Nachkommastellen von Pi genau zu berechnen, und zwar ohne Computer.
Ich suche nun eine Formel, die hierfür geeignet ist.
Wenn Du Dich mit den Anfängen der Kreisberechnung beschäftigtst, findest Du auch das, was Du suchst.
