Punkt in Ebene von R3 zu R2 umwandeln?

Hallo,

ich stehe momentan vor einem für mich und mit meinen Mathekentnissen unlösbarem Problem.

Ich habe ein Rechteck im R3, dessen Eckpunkte mir bekannt sind. Weiterhin habe ich einen Punkt, der auf der Ebene des Rechtecks liegt.

Jetzt möchte ich bestimmen, ob und wo (im R2 des Rechtecks) der Punkt innerhalb meines Rechtecks liegt. Grundsätzlich wäre mein Ansatz dazu den R3 auf den R2 der Ebene zu reduzieren um dort die Prüfung durchzuführen, ob und wo der Punkt jetzt im Rechteck liegt. Daran scheitere ich jedoch, da mir kein Ansatz bekannt ist, mit dem ich den Punkt anpassen kann.

Hat da einer von euch Matheexperten eine Idee? Oder ist mein Ansatz völlig am Ziel vorbei?

Bashar

Willst du die mathematische Lösung oder willst du das programmieren? Anders gefragt, liegt dein Punkt exakt auf der Ebene oder willst du winzige, z.B. durch Gleitkommaungenauigkeiten hervorgerufene Abweichungen tolerieren?

Letztendlich habe ich vor das zu Programmieren, derzeit fehlt mir wie gesagt auch jeglicher mathematischer Ansatz.

Der Punkt liegt mathematisch exakt auf der Ebene (Das ist ein Schnittpunkt zwischen einer Geraden und der Ebenen), wobei natürlich minimale Abweichungen durch Fließkommazahlen entstehen.

SeppJ

Rechteck mit Eckpunkten A, B ,C, D, wobei D dem Punkt A diagonal gegenueber liegt, also D = A + AB + AC. (dabei ist XY = Y - X).

Dein Punkt ist P. Du musst folgendes LGS loesen:
P = A + x * AB + y * AC

Dies ist ein 3D-LGS mit 2 Unbekannten, es ist genau dann eindeutig loesbar, wenn P in der Reechteckebene liegt. Sind x und y beide zwischen 0 und 1, so ist der Punkt im Rechteck. x und y sind hier so etwas wie die Koordinaten des Punkts im Rechteck, wobei die Einheiten der Koordinatenachsen die Seitenlaengen des Rechtecks sind und der Ursprung der Punkt A.

Die gleiche Methode funktioniert uebrigens auch fuer Rauten.

C14

Kleine Ergänzung zu Sepp's Antwort:
x und y kannst du einfach über das Skalarprodukt mit den entsprechenden Einheitsvektoren deines Rechtecks berechnen.
x = <P-A, AB/norm(AB)>
y = <P-A, AC/norm(AC)>