4. Dirichlet Energy - woher kommen die Definitionen?

Dirichlet Energy - woher kommen die Definitionen?

  • I

    Bei der Poisson Gleichung gibt es ja die "strong formulation" und die "weak formulation". Um von der "strong formulation" auf die "weak formulation" zu kommen kann man die Dirichlet Energy minimieren (auch wenn ich nur wenig über Physik weiss ist mir intuitiv einigermassen klar warum man diese minimieren will).

    In der Vorlesung haben wir unter anderem Poisson PDEs mit Dirichlet und Neumann Boundary Conditions betrachtet. Dabei haben wir zwei verschiedene Definitionen der Dirichlet Energy verwendet.

    Dirichlet Boundary Conditions:

    {−Δu=fin Ωu≡0on ∂Ω\begin{cases} -\Delta u = f&\quad\text{in }\Omega\\ u \equiv 0&\quad\text{on }\partial\Omega \end{cases}

    mit Dirichlet Energy J(v)=12∫Ω∣∇u∣2dx−∫ΩvfdxJ(v) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2\,dx - \int_\Omega vf\,dx.

    Neumann Boundary Conditions:

    {−Δu+u=fin Ω∂u∂n=gon ∂Ω\begin{cases} -\Delta u + u = f&\quad\text{in }\Omega\\ \frac{\partial u}{\partial n} = g&\quad\text{on }\partial\Omega \end{cases}

    mit Dirichlet Energy J(w)=12∫Ω∣∇w∣2dx+12∫Ωw2dx−∫Ωfwdx−∫∂Ωgwds(x)J(w) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla w|^2 \,dx + \frac{1}{2}\int_\Omega w^2 \,dx - \int_\Omega fw \,dx - \int_{\partial\Omega} gw \,ds(x).

    Kann mir jemand erklären woher die Definitionen der Dirichlet Energy kommen?

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  • J

    Hm, dazu was zu finden ist relativ schwierig, aber eventuell kannst du dir ja die Dirichlet-Energien selber beweisen.
    Um deine Intuition dieser Funktionale beneide ich dich, denn einen direkten physikalischen Zugang, warum die Poisson-Gleichung erfüllt ist, wenn die Funktionale mit entsprechenden RBs minimal sind, sehe ich da nicht. Und genau das ist es, was du prüfen musst.
    Keine Ahnung, wie gut du in Variationsrechnung bist, aber der übliche Ansatz ist wohl, dass du die Lösungsfunktionen als u(x)=u~(x)+ϵv(x)u(x)=\tilde{u}(x)+\epsilon v(x) darstellst (wobei u und v die RBs erfüllen) und dann die Funktionale nach epsilon ableitest und gleich 0 setzt. Nach etwas Umformen (auf Wikipedia wird z.B. die 1. greensche Identität benützt) wird sich dann wohl irgendwann zeigen, dass die Integralausdrücke nur dann 0 sind, wenn die Poisson-Gleichung mit entsprechenden RBs erfüllt ist.

    Wikipedia z.B. hat zwar nur eine skizzenhafte Herleitung für die Lösungen der einfacheren Laplace-Gleichung, aber vielleicht bringt es dich ja auf eine Idee. Der gleiche Ansatz funktioniert für die Poissongl. bei mir jedenfalls nicht (das geänderte Funktional bringt mich auf den gleichen letzten Integralterm wie in der Wiki-Herleitung).

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  • I

    Danke für die Antwort. Bin leider nicht wirklich fit in Variationsrechnung aber der Wikipedia Artikel hat doch etwas geholfen, auch wenn da bloss eine Beweisskize drin ist.

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