dringend: Ableitung f(x,y)

Hey, ich ich habe nochmal eine kurze Frage vor der Klausur morgen . Wie leite ich f(x,y) ab? Ich weiss ich kann es nach x oder y ableiten, aber wie leite ich es zu beidem ab? Ich frage aus folgendem Grund:

http://i.gyazo.com/5aba54faba6d5957456643a274bc7bd7.png

Wie gesagt, y'(t) ist definiert als f(t, y(t)), aber wie kommt man auf den zweiten Teil?

Danke schonmal für hoffentlich schnelle Antworten

Du hast was durchgestrichen. Redest du nur von
\operatorname y^\prime(t)=\operatorname f(t,\operatorname y(t))
\operatorname y^{\prime\prime}(t)=\frac\partial{\partial t}\operatorname f(t,\operatorname y(t))
?

Denn das ist ja nicht besonders spannend, das ist einfach f eingesetzt und die Ableitung explizit aufgeschrieben.

Das durchgestrichene ist uninteressant, ist nur ein Nachterm. Ich verstehe nicht wie sich die zweite Ableitung berechnet.

Ist das irgendne Kettenregel oder sowas? Danke schonmal. Also das y''(t) wird halt zu der ganzen Klammer die in der Zeile dadrunter steht.

Erst nach t abgeleitet und dann nach y(t), aber hier verstehe ich nicht warum davor dann nochmal f(t, y(t)) als Faktor davor steht?!

Danke schonmal.

Bashar

chicken90 schrieb:

aber hier verstehe ich nicht warum davor dann nochmal f(t, y(t)) als Faktor davor steht?!

Das ist wohl die innere Ableitung, y'. Die ganze Sache wäre ein bisschen klarer, wenn du dazu gesagt hättest, dass es um eine Differenzialgleichung y'(t) = f(t, y(t)) geht.

wxSkip

Ich denke, das ist die Kettenregel. Mit s = t gilt

y''(t)\\ = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t, y(t)) \\ = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t, y(s)) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(s, y(t)) |_{s=t} \\ = \frac{\partial}{\partial t}f(t, y(s)) + y'(t) \frac{\partial}{\partial y}f(s, y(t)) |_{s=t} \\ = \frac{\partial}{\partial t}f(t, y(s)) + f(t, y(t)) \frac{\partial}{\partial y}f(s, y(t)) |_{s=t} \\ = \frac{\partial}{\partial t}f(t, y(t)) + f(t, y(t)) \frac{\partial}{\partial y}f(t, y(t))

SeppJ

Bashar schrieb:

Die ganze Sache wäre ein bisschen klarer, wenn du dazu gesagt hättest, dass es um eine Differenzialgleichung y'(t) = f(t, y(t)) geht.

Woah! Jetzt fällt es mir wie Schuppen aus den Haaren .

Das hätte echt mal gleich dazu gesagt werden sollen. Ich ging nach der Form der Frage von Schulstoff aus und hatte hier schon eine längere, schulgerechte Abhandlung^* über die Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen stehen (Jacobimatrix, totales Differential & Co.). Hat sich wohl erledigt und würde dem TE nicht helfen.
@TE: Immer möglichst viel Kontext bringen! Unter anderem wäre auch nützlich gewesen, dass du eine Hochschule besuchst, damit man seine Antworten nach deinem Kenntnisstand orientieren kann.

^*: Es war nur ein Entwurf, noch nicht bereit zum Posten. Daher verwerfe ich es mal komplett, anstatt mehr unnötige Arbeit darein zu stecken.

Sorry, ich dachte das wäre klar durch

y'(t) ist definiert als f(t, y(t))

Danke trotzdem für die Antworten! Auf zur Klausur..