Kettenregel?

[Jodocus]

Ich verstehe das nicht (geht um die Grundlagen der Differentialgeometrie/Tensorrechnung):
Sei $\mathcal{M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,
I := [s\_0, s\_1] \subset \mathbb{R} ein reelles Intervall,
$\Gamma\colon\, I \rightarrow \mathcal{M}$ ein mit reellen Zahlen parametrisierter Weg in der Mannigfaltigkeit,
$\varphi\colon\, \mathcal{M} \supset U \rightarrow \mathbb{R}^d$ ein Koordinatensystem in der Mannigfaltigkeit, wobei U eine offene Umgebung und $d := \dim{\mathcal{M}}$ ist,
$f\colon\, \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion.

Jetzt wird definiert:
$x\colon\, I \rightarrow \mathbb{R}^d,\,s \mapsto x(s) := (x^0(s), \ldots, x^d(s)) = \varphi(\Gamma(s))$ und $U \ni p := \Gamma(0)$, also der Weg dargestellt in den $d$ verschiedenen $\varphi$-Koordinaten mit $\Gamma(s) \subseteq U \,\forall s \in I$.

Und nun wird abgeleitet:
$\frac{d}{ds} f(\Gamma(s))\bigg|_{s=0} = \frac{d}{ds} f(\varphi^{-1}(\varphi(\Gamma(s))))\bigg|_{s=0} = \frac{d}{ds} f(\varphi^{-1}(x(s)))\bigg|_{s=0}$
So, ich behaupte, obiges ergibt nach zweimaligem Anwenden der Kettenregel (mit Einstein-Summenkonvention):
$\frac{d}{ds} f(\Gamma(s))\bigg|_{s=0} = \dot{x}^\mu(0)\dfrac{\partial\varphi^{-1}}{\partial x^\mu}\bigg|_{x^\mu(0)}f'(\varphi^{-1}(x))\bigg|_{\varphi(p)}$
Aber im Skriptum steht:
$\frac{d}{ds} f(\Gamma(s))\bigg|_{s=0} = \dot{x}^\mu(0)\dfrac{\partial}{\partial x^\mu}\bigg|_{\varphi(p)}f(\varphi^{-1}(x))) = \dot{x}^\mu(0)\dfrac{\partial}{\partial x^\mu}\bigg|_{\varphi(p)}f(\Gamma(s)))$

Das ist kein Schreibfehler, denn im folgenden wird durch f dividiert, dadurch wird dann der Differentialoperator $\frac{d}{ds}\bigg|_{s=0}$ explizit mit $\dot{x}^\mu(0)\dfrac{\partial}{\partial x^\mu}\bigg|_{\varphi(p)}$ identifiziert.

Wenn ich auf diese Identifikation kommen wollte, müsste ich aber $\frac{d}{ds} f(\varphi(\Gamma(s)))\bigg|_{s=0} = \frac{d}{ds} f(x(s))\bigg|_{s=0} = \dot{x}^\mu(0)\dfrac{\partial}{\partial x^\mu}\bigg|_{\varphi(p)}f(\varphi(\Gamma(s)))$ berechnen und nicht $\frac{d}{ds} f(\varphi^{-1}(x(s)))\bigg|_{s=0}$ (also auch mit einem f mit Definitionsbereich in $\mathbb{R}^d$ und nicht $\mathcal{M}$.

Oh je, ich hoffe dass ist für die mathematischen Geistesblitze hier nicht zu unübersichtlich. Verstehe ich da irgendwas fundamental falsch?

[Jester]

Was soll denn f' sein?

[Jodocus]

Die äußere Ableitung von $f$, also quasi $\frac{df(\varphi^{-1}(x(s)))}{d\varphi^{-1}}$

Allgemein behaupte ich einfach (jetzt ganz salopp für irgendwelche Funktionen):
$\frac{d}{ds}f(g(h^0(s), \ldots, h^d(s)))\bigg|_{s=0} = \frac{df(g(h^0(s), \ldots, h^d(s)))}{dg}\bigg|_{g(h^0(0), \ldots, h^d(0))}\sum\limits_{k=0}^d \dfrac{\partial g(h^k(s))}{\partial h^k} \bigg|_{h^k(0)} \frac{dh^k(s)}{ds}\bigg|_{s=0}$
Äußere mal mittlere mal innere Ableitung. Aber der Ausdruck im Skript sieht einfach nicht so aus (in meinen Augen).

Edit: Ah sorry, jetzt sehe ich was da gemacht wurde. Es wurde nur einmal die Kettenregel benutzt und nicht zweimal. War gestern wohl mal wieder zu spät am Abend. Trotzdem danke an die, die sich das angetan haben.

[Jester]

Genau das wollte ich nämlich sagen. f ist eine Abbildung von der Mannigfaltigkeit in den R^d, die kannst Du nicht einfach "für sich" ableiten, das Differenzieren geht ja immer nur in den Koordinaten.

[Jodocus]

Jester schrieb:

Genau das wollte ich nämlich sagen. f ist eine Abbildung von der Mannigfaltigkeit in den R^d

Ne, nur in den $\mathbb{R}$. Aber stimmt schon, ich hab irgendwie nicht darauf geachtet, dass das Argument von f ja auch mehrdimensional ist und dass so ein Ableitungsausdruck nach Vektor sinnlos ist. Der richtige Ausdruck ist einfach ein totales Differential, das hab ich nicht gesehen.

[Jester]

Im Prinzip ist es ja sogar noch schlimmer, nicht nur, dass das Argument "mehrdimensional" ist: So eine Mannigfaltigkeit lebt ja von sich aus erstmal nicht im R^x für irgendein x, sodass Du da überhaupt nicht ableiten kannst. M ist ja erstmal nur irgendeine Menge, die halt lokal diffeomorph zu R^d ist mit differenzierbaren Übergangsfunktionen. Und auf einer so beliebigen Menge gibt es einfach keinen direkten Ableitungsbegriff -- genau deswegen macht man den Zirkus mit den Koordinaten/Parametrisierungen ja, um so die ganzen Begriff vom R^d aus zu übertragen.

[Jodocus]

Hm, da ist was dran. Leider hab ich mich mit dem Mannigfaltigkeitsbegriff noch nicht so viel beschäftigen können (wenn man mal etwas Physik/Feldtheorie machen will kommt man leider ja immer gleich vom Hundertsten ins Tausendste).

Aber wenn wir statt Mannigfaltigkeit einen R^d hätten und x(s) linear in s wäre, dann könnte man dieses f' doch getrost als Richtungsableitung auffassen und damit die Kettenregel durchführen, oder?

Danke für deine Erklärung.

Edit: also Richtungsableitung von f am Punkt p=Gamma(0) in Richtung p, wobei da x ja eigentlich auch nicht linear zu sein braucht.

[Jester]

Ja, ich denke schon. Das ist ja genau der Sinn der Sache, wenn Du den R^d als d-dimensionale Mannigfaltigkeit auffasst, dann stimmen die Differenzierbarkeitsbegriffe für den R^d und diff'bare Mannigfaltigkeiten überein. In dem Fall könntest Du ja als Parametrisierung einfach die Identität verwenden. Ich glaube nicht, dass Du dann Linearität von s brauchst, das linearisierst Du durch das differenzieren ja ohnehin, differenzierbar sollte also genügen.

[Jodocus]

Alles klar, vielen dank!