4. Normale eines Punktes von f(x,y) = sin(x)*cos(y)

Normale eines Punktes von f(x,y) = sin(x)*cos(y)

  • ?

    Hallo,
    leider musste ich mir Erschrecken feststellen, dass ich auf diesem Gebiet der Mathematik absolut keine Ahnung habe 🙄 Und zwar möchte ich die Normale eines beliebigen Punktes (x,y) der im Titel gegebenen Funktion berechnen. Im Internet findet man leider nur antworten wie das funktioniert, wenn die Funktion schon in Vektorschreibweise gegeben ist. Allerdings habe ich nirgends gefunden wie man aus einer solchen Funktion, in der der x- und y-Teil durch eine Multiplikation verknüpft ist, eine Vektorschreibweise macht.
    Ich hoffe mir kann da jemand Anregungen geben, wie das Funktioniert 🙂

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  • F

    Hallo,

    leider ohne Gewähr, da ich sowas eigentlich nie gelernt habe, aus mir spricht also lediglich die Intuition:
    Du musst die Funktion partiell nach den beiden Parametern ableiten:
    f(x,y)=sin(x)⋅cos(y)f(x,y) = sin(x) \cdot cos(y)
    g(x,y)=∂∂xf(x,y)=cos(x)⋅cos(y)g(x, y) = \frac{\partial }{\partial x} f(x, y) = cos(x) \cdot cos(y)
    h(x,y)=∂∂yf(x,y)=−sin(x)⋅sin(y)h(x, y) = \frac{\partial }{\partial y} f(x, y) = -sin(x) \cdot sin(y)
    Dank den Ableitungen lässt sich nun die Funktion zur Berechnung des Normalvektors formulieren:

    v:R2→R3,(x,y)↦(g(x,y)÷2h(x,y)÷21−(g(x,y)+h(x,y)))v: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3, (x, y) \mapsto \begin{pmatrix}g(x, y) \div \sqrt{2} \\ h(x, y) \div \sqrt 2 \\ \sqrt{1-(g(x, y) + h(x, y))} \end{pmatrix}

    Wie gesagt, es kann auch sein dass alles Blödsinn ist. 😉
    Wäre schön, wenn da jemand darüberschauen könnte.

    Gruss.

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  • Mod

    edit: Falsch gelesen, vergiss was hier stand

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  • ?

    Danke asfdlol für deine Mühen. Deine Formel sieht zwar ganz schlüssig aus, aber woher kommt das Teilen durch Wurzel-2? Ich dachte zuerst, das ist damit der Vektor immer die Länge 1 bekomment, aber dem scheint nicht so. Desweiteren habe ich mal ein paar Werte eingesetzt und irgendwie scheint das alles nicht ganz zu stimmen. Ich habe das Gefühl, dass beim y-Wert das Vorzeichen falsch ist, aber warum?

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  • Mod

    So, nun habe ich Zeit, das gründlich zu machen.

    Die Vectoren, die die Oberfläche aufspannen sind {1, 0, d/dx f(x,y)} und {0, 1, d/dy f(x,y)}. Wobei die 1 willkürlich gewählt ist. Dann ist die Normale das Kreuzprodukt dieser Vektoren. Man erhält hier {-cos(x)*cos(y), sin(x)*sin(y), 1}. Kurzer Check mit Gnuplot: Passt.

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  • W

    Andere Herleitung: Nach dem Satz von Taylor gilt:
    f(x)=T_1(f,x,x_0)+R_1(f,x,x_0)f(x) = T\_1(f, x, x\_0) + R\_1(f, x, x\_0)
    mit
    T_1(f,x,x_0)=f(x_0)+Jf(x_0)(x−x0)T\_1(f, x, x\_0) = f(x\_0) + \mathrm{J}f(x\_0)(x - x_0)
    und
    limx→x_0R_1(f,x,x0)∣x∣=0\lim_{x \rightarrow x\_0} \frac{R\_1(f, x, x_0)}{|x|} = 0
    D.h. die Tangentialebene im Punkt x0x_0 ist
    E_T={(xyT_1(f,(x,y),x0))∣x,y∈R}.E\_T = \{\begin{pmatrix}x\\y\\T\_1(f, (x, y), x_0)\end{pmatrix} \mid x, y \in \mathbb{R}\}.
    Setzt du jetzt die Punkte x0x_0, x0+(10)x_0 + \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} und x0+(01)x_0 + \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} in deine Ebenengleichung ein, dann erhältst du die zwei aufspannenden Vektoren von SeppJ und daraus deinen Normalenvektor.

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  • S

    Du hast da also nen Graphen. Wenn du daraus ne Fläche in parametrischer Form machen willst nimmst du einfach die Koordinaten, als Parameter lassen wir (x,y)(x,y).
    γ(x,y)=(x,y,f(x,y))T\gamma(x,y) = (x,y,f(x,y))^T

    Jetzt kannste die Fläche wie jede andere auch behandeln,
    sprich:
    n=∂γ∂x×∂γ∂y∥∂γ∂x×∂γ∂y∥n = \frac{\frac{\partial \gamma}{\partial x} \times \frac{\partial\gamma}{\partial y}}{\left\|\frac{\partial \gamma}{\partial x} \times \frac{\partial\gamma}{\partial y}\right\|}
    Also
    n=1∂f∂x2+∂f∂y2+1(−∂f∂x−∂f∂y1)n = \frac{1}{\sqrt{\frac{\partial f}{\partial x}^2 + \frac{\partial f}{\partial y}^2 + 1}} \left(\begin{array}{c}-\frac{\partial f}{\partial x}\\ -\frac{\partial f}{\partial y}\\ 1\end{array}\right)

    Edit: 1 durch Wurzel natürlich

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