Eigenschaften Operatoren

Hi,
ich stelle mich gerade ziemlich an, mir etwas klar zu machen, speziell geht es mir gerade um die Fourier-Transformation.

Wir haben das jetzt so beigebracht bekommen, dass erstmal das Fourieintegral gezeigt wurde (ft sei die Funktion im Zeitbereich, fw die Funktion im Frequenzbereich):

F o ft = fw

Und dann haben wir gezeigt bekommen, dass

F^-1 o F o ft = ft

Für mich bedeutet das erstmal nur, dass der Operator F links-eindeutig ist (?). Darauf aufbauend haben wir gezeigt bekommen (A und B irgendwelche Aussagen):

A(f) -> B(F o f)

Und nun wird einfach so hingestellt, dass daraus B(x) -> A(F^-1 o x) folgt, wohlgemerkt irgendein x (mit x: R -> C), zu dem wir keine Zeitfunktion kennen. Aber das kann ich mir gerade nicht zu meiner Zufriedenheit erklären. Müsste man nicht zumindest sagen B(x Element Im(F)) -> A(F^-1 o x) oder Bijektivität von F nachweisen? Oder ergibt es eigentlich auch gar keinen Sinn für x eine andere Menge als Im(F) anzunehmen?
Für die speziellen Aussagen A,B, die wir behandelt haben, konnte ich mir die Umkehrschlüsse zumindest meiner Meinung dann über andere Wege klarmachen, aber hier geht es mir einfach um die allgemeine Aussage und die sollte ich wohl besser mal begreifen.

C14

Du kannst A und B nicht einfach vertauschen.
Meinst du stattdessen (\forall x \in A[x] \rightarrow B[F(x)]) \leftrightarrow (\forall x \in A[F^{-1}(x)] \rightarrow B[x]) ?

Hallo C14, danke für Deine Antwort!

Nee, es geht mir wirklich schon um Vertauschen. Ich denke inzwischen, dass ich richtig (in meiner unperfekten Definition von richtig) lag mit der Annahme, dass man für das Vertauschen (ohne zusätzliche Einschränkung der Ur- und Bildmengen, auf die man sich bezieht) des Schlusses A(f)->B(F o f) zu B(f)->A(F^-1 o f) nachweisen muss, dass der Operator bijektiv ist. Ich habe mal etwas weiter recherchiert, und das, was ich über F zunächst annahm, war, dass F^-1 eine Links-Inverse ist (das war ja alles, das wir gezeigt bekommen haben), die Bijektivität war mir nicht klar.

Die Ähnlichkeit der Fourier-Transformation als F-Operator im Speziellen mit der Inversen reicht mir intuitiv mindestens schonmal um von Bijektivität auszugehen (Also dass Im(F) auch der gesamte Definitionsbereich von F^-1 ist, linkseindeutigkeit wurde ja schon nachgewiesen, rechtseindeutigkeit folgt dann). Nur weiß ich wirklich nicht, wie man da den formalen Beweis führt.

Viele Grüße